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Derivada de la arcosecante hiperbólica

Aquí encontrarás cómo calcular la derivada de la arcosecante hiperbólica de una función. Además, podrás ver ejemplos resueltos de la derivada de la arcosecante hiperbólica.

Fórmula de la derivada de la arcosecante hiperbólica

La derivada de la arcosecante hiperbólica de x es igual a menos 1 dividido entre el producto de x por la raíz de uno menos x al cuadrado.

f(x)=\text{arcsech}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}

Por lo tanto, la derivada de la arcosecante hiperbólica de un función es menos la derivada de dicha función partido por el producto de la función por la raíz de uno menos la función al cuadrado.

f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}

En definitiva, la fórmula de la derivada de la función arcosecante hiperbólica es la siguiente:

derivada de la arcosecante hiperbolica

Las dos expresiones en realidad corresponden a la misma fórmula, pero en la segunda fórmula está aplicada la regla de la cadena. De hecho, si sustituyes la u por la función identidad x, obtendrás la primera fórmula ya que la derivada de x es 1.

Ejemplos de la derivada de la arcosecante hiperbólica

Después de ver cuál es la fórmula de la derivada de la arcosecante hiperbólica, vamos a resolver dos ejercicios paso a paso de este tipo de derivadas trigonométricas inversas. Así podrás ver exactamente cómo derivar la arcosecante hiperbólica de una función.

Ejemplo 1

En este ejemplo determinaremos cuánto es la derivada de la arcosecante hiperbólica de 2x.

f(x)=\text{arcsech}(2x)

En el argumento de la arcosecante hiperbólica tenemos una función distinta de x, por lo que debemos usar la fórmula con la regla de la cadena para derivarla:

f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}

La función 2x es lineal, de modo que su derivada es 2. Por lo tanto, para hallar la derivada simplemente tenemos que sustituir la u por 2x y la u’ por 2 en la fórmula:

f(x)=\text{arcsech}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-(2x)^2}}=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-4x^2}}

Ejemplo 2

En este segundo ejercicio derivaremos la arcosecante hiperbólica de una función polinómica:

f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x)

La función de este ejercicio es compuesta, porque la arcosecante hiperbólica tiene otra función en su argumento. De modo que debemos usar la fórmula de la derivada de la arcosecante hiperbólica con la regla de la cadena para hacer su derivación:

f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}

Por lo tanto, en el numerador de la fracción ponemos la derivada de la función polinómica del argumento, y en el denominador cambiamos la u por la función polinómica:

\begin{aligned}f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}f'(x)&=\cfrac{-(3x^2-4)}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\\[1.5ex] &=\cfrac{-3x^2+4}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\end{aligned}

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