Derivada del arcoseno hiperbólico

Aquí encontrarás cuál es la derivada del arcoseno hiperbólico (fórmula). Además, podrás ver varios ejercicios resueltos de derivadas del arcoseno hiperbólico de una función. Finalmente, te demostramos la fórmula de la derivada de este tipo de función trigonométrica.

Fórmula de la derivada del arcoseno hiperbólico

La derivada del arcoseno hiperbólico de x es uno partido por la raíz cuadrada de x al cuadrado más 1.

f(x)=\text{arcsenh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}

De modo que la derivada del arcoseno hiperbólico de una función es igual al cociente de la derivada de esa función partido por la raíz cuadrada dicha función al cuadrado más uno.

f(x)=\text{arcsenh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}

La segunda fórmula es como la primera pero aplicando la regla de la cadena. Es decir, con la primera fórmula solo se puede derivar el arcoseno hiperbólico de x y, en cambio, con la segunda fórmula se puede derivar el arcoseno hiperbólico de cualquier función.

derivada del arcoseno hiperbolico

Ten presente que el arcoseno hiperbólico es la función inversa del seno hiperbólico, cuya derivada puedes ver aquí:

➤ Ver: fórmula de la derivada del seno hiperbólico

Ejemplos de la derivada del arcoseno hiperbólico

Ejemplo 1

f(x)=\text{arcsenh}(3x)

Para resolver la derivada de la función arcoseno, utilizamos la fórmula vista arriba:

f(x)=\text{arcsenh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}

La derivada de 3x es 3, por lo que en el numerador va un 3. Y en el denominador simplemente debemos poner la raíz cuadrada de 3x al cuadrado más 1:

f(x)=\text{arcsenh}(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{\sqrt{(3x)^2+1}}=\cfrac{3}{\sqrt{9x^2+1}}

Ejemplo 2

f(x)=\text{arcsenh}(x^3)

Para derivar el arcoseno hiperbólico de la función x al cubo, debemos aplicar la misma fórmula:

f(x)=\text{arcsenh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}

La derivada de x al cubo es 3x2, por lo tanto, la derivada del arcoseno hiperbólico de x elevada a la 3 será:

f(x)=\text{arcsenh}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3x^2}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+1}}=\cfrac{3x^2}{\sqrt{x^6+1}}

Demostración de la derivada del arcoseno hiperbólico

Vamos a demostrar la fórmula de la derivada del arcoseno hiperbólico:

y=\text{arcsenh}(x)

Primero de todo, transformamos el arcoseno hiperbólico en seno hiperbólico :

x=\text{senh}(y)

Derivamos en los dos lados de la igualdad:

1=\text{cosh}(y)\cdot y'

Despejamos y’:

y'=\cfrac{1}{\text{cosh}(y)}

Luego, aplicamos la identidad trigonométrica que relaciona el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico:

\text{cosh}^2(y)-\text{senh}^2(y)=1 \ \longrightarrow \ \text{cosh}(y)=\sqrt{1+\text{senh}^2(y)}

y'=\cfrac{1}{\sqrt{1+\text{senh}^2(y)}}

Pero arriba hemos deducido que x corresponde al seno hiperbólico de y, de manera que la ecuación queda:

y'=\cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}

Como puedes comprobar, aplicando estos pasos hemos conseguido la fórmula de la derivada del arcoseno hiperbólico, por lo que queda demostrada.

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