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Derivada del seno

En este post te explicamos cómo hacer la derivada del seno (fórmula). Encontrarás ejemplos de derivadas de funciones seno y ejercicios resueltos paso a paso para practicar. Además, te mostramos la segunda derivada del seno, la derivada del seno inverso e, incluso, demostramos la fórmula de la derivada del seno.

¿Cuál es la derivada del seno?

La derivada de la función seno es la función coseno. Por lo tanto, la derivada del seno de x es igual al coseno de x.

f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)

Si en el argumento del seno hay una función, la derivada del seno es el coseno de dicha función multiplicado por la derivada de la función.

f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'

Esta segunda fórmula de la derivada del seno se obtiene de aplicar la regla de la cadena a la primera fórmula. Así que, en resumen, la fórmula de la derivada de la función seno es:

derivada del seno

Ejemplos de la derivada del seno

Una vez hemos visto cuál es la fórmula de la derivada del seno, pasamos a explicar varios ejemplos de este tipo de derivadas trigonométricas para que entiendas perfectamente cómo derivar la función seno.

Ejemplo 1: Derivada del seno de 2x

f(x)=\text{sen}(2x)

En el argumento del seno tenemos una función diferente de x, por tanto, debemos utilizar la siguiente fórmula para derivar el seno:

f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'

La derivada de 2x es 2, de modo que la derivada del seno de 2x es el producto del coseno de 2x por 2.

f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)

Ejemplo 2: Derivada del seno de x al cuadrado

f(x)=\text{sen}(x^2)

La fórmula de la derivada de la función seno es:

f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'

Y como la derivada de x2 es igual a 2x, la derivada del seno de x elevada a la 2 es:

f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x

Ejemplo 3: Derivada del seno al cubo

f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)

En este ejemplo, la función seno está compuesta por otra función, por lo que debemos emplear la siguiente regla para derivar el seno:

f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'

Por tanto, la derivada de la función es:

f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)

Para poder derivar esta función también debes aplicar la fórmula de la derivada de una potencia.

Segunda derivada del seno

A continuación vamos analizar la segunda derivada de la función seno, ya que al ser una función trigonométrica tiene unas características especiales.

Como hemos visto más arriba, la derivada del seno es el coseno. Pues la derivada del coseno es el seno pero cambiado de signo. Lo que significa que la segunda derivada del seno es el propio seno pero cambiado de signo.

 \begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}

Sin embargo, si el argumento del seno no es x, esta condición cambia porque debemos arrastrar el término de la regla de la cadena:

 \begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}

Derivada del seno inverso

Como bien sabes, toda función trigonométrica tiene un función inversa, de modo que el seno inverso también es derivable.

La derivada del seno inverso es igual al cociente de la derivada de la función del argumento dividido por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función del argumento.

f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}

Recuerda que el seno inverso también se llama arcoseno.

Por ejemplo, la derivada del seno inverso de 5x es:

f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}

Ejercicios resueltos de la derivada del seno

Calcula las derivadas de las siguientes funciones seno:

\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)

\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)

\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)

\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)

\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)

\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)

\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)

\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)

\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}

\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)

\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}

\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4

 

Demostración de la derivada del seno

En este apartado vamos a demostrar que la derivada del seno de x es el coseno de x utilizando la definición de la derivada, que es:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

En este caso la función a derivar es el sen(x), por tanto:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}

El seno de una suma se puede reescribir aplicando la siguiente identidad trigonométrica:

\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}

Transformamos la fracción en dos fracciones con el mismo denominador. Esta operación la podemos hacer gracias a la ley del límite de una suma.

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}

Ver: leyes de los límites

Los términos seno de x y coseno de x no dependen del valor de h, por lo que los podemos sacar fuera del límite:

\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}

Ahora simplemente debemos aplicar estos dos límites trigonométricos:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0

Nota: Puedes buscar la demostración de los dos límites trigonométricos anteriores en el buscador de nuestra página web.

\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1

\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)

Y de esta forma queda demostrado que la derivada del seno de x es el coseno de x.

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