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Propiedades (o leyes) de los límites

Aquí encontrarás todas las propiedades (o leyes) de los límites de funciones. Estas propiedades sirven para simplificar los cálculos de los límites, especialmente cuando son límites con operaciones de funciones.

¿Cuáles son las propiedades (o leyes) de los límites de funciones?

A continuación, explicaremos todas las propiedades de los límites de funciones, o también llamadas leyes de los límites de funciones. Además, podrás ver ejercicios resueltos de cada propiedad de los límites para que puedas entender el concepto perfectamente.

Propiedad del límite de una suma

El límite de la suma de dos funciones en un punto es igual a la suma del límite de cada función en ese mismo punto por separado.

\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)

Por ejemplo, sean dos funciones cualesquiera:

f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1

El límite de cada función en x igual a 1 es:

\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1

\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3

Por lo tanto, el límite de las dos funciones sumadas en el mismo punto da como resultado 4 (1+3=4).

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}

Se puede demostrar la propiedad haciendo el cálculo del límite paso a paso:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}

Propiedad del límite de una resta

El límite de la resta (o diferencia) de dos funciones en un punto es equivalente a la resta del límite de cada función en ese mismo punto por separado.

\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)

Tomando las funciones del ejemplo anterior:

f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1

El límite de cada función en el punto x=3 es:

\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9

\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7

Entonces, el límite de las dos funciones restadas en x=3 es la diferencia de los valores obtenidos en el paso anterior:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}

Se puede hacer la demostración de esta propiedad de los límites calculando la resta de las funciones y luego resolviendo el límite:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}

Propiedad de límite de un producto

El límite del producto de dos funciones en un punto es el producto del límite de cada función en ese punto.

\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)

Por ejemplo, si tenemos las siguientes dos funciones distintas:

f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5

El límite de cada función en x=2 es:

\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8

\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1

Así pues, para determinar el límite del producto de las dos funciones no es necesario multiplicarlas entre sí, sino que simplemente tenemos que multiplicar el resultado obtenido de cada límite:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}

Esto nos permite ahorrar cálculos y tiempo ya que hacer la multiplicación de dos funciones puede resultar difícil.

Propiedad del límite de un cociente

El límite del cociente (o división) de dos funciones es igual al cociente de los límites de las funciones.

\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}

Esta condición se cumple siempre y cuando el límite de la función del denominador no sea nulo.

\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0

Resolveremos un ejemplo de esta propiedad (o ley) de los límites. Sean las funciones f(x) y g(x):

f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x

Primero calculamos el límite de cada función en x=0:

\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1

\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1

De modo que el límite de la división de las dos funciones en x=0 se puede hallar fácilmente:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}

En este caso podemos aplicar esta propiedad para resolver el límite porque el límite de g(x) es diferente de cero.

Propiedad del límite de una constante

El límite de una función constante siempre da como resultado la propia constante, independientemente del punto en el que se calcule el límite.

\displaystyle \lim_{x\to a} k=k

Esta propiedad es muy sencilla de comprobar, por ejemplo si tenemos la siguiente función constante:

f(x)=5

Lógicamente, el límite de la función constante en cualquier punto es 5:

\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5

\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5

Propiedad del límite de un múltiplo constante

De las propiedades del límite de un producto y del límite de una constante se puede deducir la siguiente propiedad:

El límite de una función multiplicada por una constante es igual al producto de dicha constante por el límite de la función.

\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)

Fíjate como simplificamos el cálculo del siguiente límite utilizando esta propiedad:

\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}

Propiedad del límite de una potencia

El límite de cualquier función elevada a un exponente es equivalente a calcular el límite de la función y luego elevar el resultado del límite a dicho exponente.

\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k

Por ejemplo, el límite de una función lineal es:

\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6

Pues el límite de la función cuadrática se puede calcular hallando el límite de la función lineal y luego elevando el resultado al cuadrado:

\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36

Propiedad del límite de una función exponencial

El límite de una función exponencial es igual a la constante de la función elevada al límite de la expresión algebraica de la función.

\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}

A continuación calcularemos el límite de una función exponencial de las dos formas posibles para verificar esta propiedad:

\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25

\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25

Propiedad del límite de una potencia de funciones

El límite de una función elevada a otra función es el límite de la primera función elevado al límite de la segunda función.

\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}

A modo de ejemplo, determinaremos el siguiente límite aplicando esta ley:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}

Propiedad del límite de una función irracional

El límite de una raíz (o radical) es igual a la raíz del límite.

\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}

Para poder emplear esta propiedad, debes tener en cuenta que si el índice de la raíz es par, el límite de la función debe ser mayor o igual que 0:

\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0

Fíjate como se ha calculado el siguiente límite aplicando esta fórmula:

\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2

Propiedad del límite de una función logarítmica

El límite de un logaritmo es equivalente al logaritmo con la misma base del límite.

\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]

Fíjate en la resolución del siguiente límite en la que aplicamos esta propiedad:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}

6 comentarios en “Propiedades (o leyes) de los límites”

    1. Hola Gabriel,

      El número 27 es el resultado de las operaciones del argumento del logaritmo, se muestran todos los pasos a continuación:

      \bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]

      \bigl[16+8+3\bigr]

      27

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