▷ Integrales trigonométricas

En este post encontrarás cuáles son las fórmulas de las integrales trigonométricas y de las integrales trigonométricas inversas, además, podrás ver ejemplos resueltos de este tipo de integrales. Por último, te dejamos una tabla a modo de resumen con todas las fórmulas de las integrales trigonométricas.

Índice

Fórmulas de las integrales trigonométricas

A continuación te mostramos la fórmula de cada una de las integrales trigonométricas. No solo podrás ver cómo se resuelven las integrales trigonométricas típicas, sino que también encontrarás las fórmulas de las integrales trigonométricas inversas.

Integral del seno

La integral del seno de x es igual a menos el coseno de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{sen}(x)\ dx=-\text{cos}(x)+C$

Asimismo, la integral del seno de una función multiplicado por la derivada de dicha función da como resultado menos el coseno de la función.

$\displaystyle\int\text{sen}(u)\cdot u'\ dx=-\text{cos}(u)+C$

➤ Ver: Ejemplo resuelto de la integral del seno

Integral del coseno

La integral del coseno de x es igual al seno de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{cos}(x)\ dx=\text{sen}(x)+C$

Cuando en el argumento del coseno de la integral tenemos una función y además el coseno está multiplicado por la derivada de dicha función, la integral es igual al seno de la función más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{cos}(u)\cdot u'\ dx=\text{sen}(u)+C$

➤ Ver: Ejemplo resuelto de la integral del coseno

Integral de la tangente

La integral de la tangente de x es igual a menos el logaritmo neperiano del valor absoluto del coseno de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx=-\ln |cos(x)|+C$

Cuando en el argumento de la tangente tenemos una función y además la tangente está multiplicada por la derivada de dicha función, la integral es igual a menos el logaritmo neperiano del valor absoluto del coseno de esa función más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{tan}(u)\cdot u'\ dx=-\ln |cos(u)|+C$

➤ Ver: Ejemplo resuelto de la integral de la tangente

Integral de la secante

La integral de la secante de x es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de la suma de la secante de x y la tangente de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{sec}(x)\ dx=\ln|\text{sec}(x)+\text{tan}(x)|+C$

Ten en cuenta que cuando en el argumento de la secante tenemos una función y además la secante está multiplicada por la derivada de dicha función, el resultado de la integral es el mismo pero en el argumento de las funciones aparece la función.

$\displaystyle\int\text{sec}(u)\cdot u'\ dx=\ln|\text{sec}(u)+\text{tan}(u)|+C$

➤ Ver: Ejemplo resuelto de la integral de la secante

Integral de la cosecante

La integral de la cosecante de x es igual a menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de la suma de la cosecante de x y la cotangente de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{cosec}(x)\ dx=-\ln|\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)|+C$

Ten en cuenta que cuando en el argumento de la cosecante tenemos una función y la derivada de dicha función está multiplicando a la cosecante, en el argumento de las funciones del resultado de la integral también aparece esa función.

$\displaystyle\int\text{cosec}(u)\cdot u' \ dx=-\ln|\text{cosec}(u)+\text{cotg}(u)|+C$

➤ Ver: Ejemplo resuelto de la integral de la cosecante

Integral de la cotangente

La integral de la cotangente de x es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto del seno de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{cotg}(x)\ dx=\ln |\text{sen}(x)|+C$

Cuando en el argumento de la cotangente hay una función diferente de x, para poder integrar la cotangente esta debe estar multiplicada por la derivada de dicha función.

$\displaystyle\int\text{cotg}(u)\cdot u'\ dx=\ln |\text{sen}(u)|+C$

➤ Ver: Ejemplo resuelto de la integral de la cotangente

Integral del arcoseno

La integral del arcoseno de x es igual a x por el arcoseno de x más la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado.

$\displaystyle\int\text{arcsen}(x)\ dx=x\cdot \text{arcsen}(x)+\sqrt{1-x^2}+C$

Recuerda que para poder integrar el arcoseno cuando en el argumento hay una función diferente de x, la función trigonométrica debe estar multiplicada por la derivada de dicha función.

$\displaystyle\int\text{arcsen}(u)\cdot u'\ dx=u\cdot \text{arcsen}(u)+\sqrt{1-u^2}+C$

Integral del arcocoseno

La integral del arcocoseno de x es igual a x por el arcocoseno de x menos la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado.

$\displaystyle\int\text{arccos}(x)\ dx=x\cdot \text{arccos}(x)-\sqrt{1-x^2}+C$

Ten en cuenta que cuando en el argumento hay una función diferente de x, la función trigonométrica debe estar multiplicada por la derivada de dicha función para poder hacer la integración.

$\displaystyle\int\text{arccos}(u)\cdot u'\ dx=u\cdot \text{arccos}(u)-\sqrt{1-u^2}+C$

Integral del arcotangente

La integral del arcotangente de x es igual a x por el arcotangente de x menos un medio por el logaritmo neperiano del valor absoluto de uno más x al cuadrado

$\displaystyle\int\text{arctan}(x)\ dx=x\cdot \text{arctan}(x)-\frac{1}{2}\cdot\ln|1+x^2|+C$

Cuando en el argumento del arcotangente hay una función diferente de x, esta debe estar multiplicada por la derivada de dicha función para poder resolver la integral.

$\displaystyle\int\text{arctan}(u)\cdot u'\ dx=u\cdot \text{arctan}(u)-\frac{1}{2}\cdot\ln|1+u^2|+C$

Tabla de integrales trigonométricas

Para terminar, te dejamos una tabla en la que se resumen todas las fórmulas de las integrales trigonométricas.