▷ Integral del seno

En este post te explicamos cómo resolver la integral del seno. Así pues, encontrarás cuál es la integral del seno y, además, podrás ver varios ejemplos resueltos de este tipo de integral trigonométrica.

Índice

Fórmula de la integral del seno

La integral del seno de x es igual a menos el coseno de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{sen}(x)\ dx=-\text{cos}(x)+C$

Asimismo, la integral del seno de una función multiplicado por la derivada de dicha función da como resultado menos el coseno de la función.

$\displaystyle\int\text{sen}(u)\cdot u'\ dx=-\text{cos}(u)+C$

Por lo tanto, la fórmula de la integral del seno es la siguiente:

➤ Ver: Derivada del seno

Ejemplo de la integral del seno

Para que puedas ver cómo se calcula la integral de la función seno, a continuación te dejamos un ejemplo resuelto paso a paso:

$\displaystyle\int\text{sen}(4x)\ dx$

En este caso tenemos una función dentro del argumento del seno, por lo tanto, debemos lograr que la derivada de dicha función multiplique al seno para hacer la integración. La derivada de 4x es 4, así que tenemos que multiplicar y dividir por cuatro y luego sacar el denominador de la integral:

$\displaystyle\int\text{sen}(4x)\ dx=\int\frac{4}{4}\cdot\text{sen}(4x)\ dx=\frac{1}{4}\int 4\cdot \text{sen}(4x)\ dx$

Ahora ya podemos aplicar la fórmula de la integral del seno:

$\displaystyle\int\text{sen}(u)\cdot u'\ dx=-\text{cos}(u)+C$

De modo que la integral de la función seno resuelta queda de la siguiente manera:

$\displaystyle\frac{1}{4}\int 4\cdot\text{sen}(4x)\ dx=\frac{1}{4}\cdot \bigl(-\text{cos}(4x)\bigr) + C=-\cfrac{\text{cos}(4x)}{4}+C$

➤ Ver: Función seno

Ejercicios resueltos de la integral del seno

Resuelve las siguientes integrales de funciones seno:

$\text{A) } \displaystyle\int\bigl(8-\text{sen}(x)\bigr)\ dx$

$\text{B) } \displaystyle\int\text{sen}(6x+1)\ dx$

$\text{C) } \displaystyle\int(x+1)\text{sen}(x^2+2x+9)\ dx$

$\text{D) } \displaystyle\int e^x\text{sen}\left(e^x\right)\ dx$

Ver solución

$\begin{aligned}\text{A) } &\displaystyle\int\bigl(8-\text{sen}(x)\bigr)\ dx =\int 8\ dx - \int \text{sen}(x) \ dx=\\[2ex]&=8x-\bigl(-\text{cos}(x)\bigr) + C=8x+\text{cos}(x)+C\end{aligned}$

$\text{B) } \displaystyle\int\text{sen}(6x+1)\ dx =\frac{1}{6}\int 6\cdot \text{sen}(6x+1)\ dx =-\frac{\text{cos}(6x+1)}{6}+C$

$\begin{aligned}\text{C) }& \displaystyle\int(x+1)\text{sen}(x^2+2x+9)\ dx\longrightarrow \left\{\begin{array}{c}u=x^2+2x+9\\[2ex] du=(2x+2)dx=2(x+1)dx\end{array}\right\}\\[2ex]&=\int \frac{(x+1)\text{sen}(u)}{2(x+1)}\ du=\\[2ex]&=\frac{1}{2}\int\text{sen}(u)\ du=-\frac{\text{cos}(u)}{2}+C=\\[2ex]&=-\frac{\text{cos}(x^2+2x+9)}{2}+C \end{aligned}$

$\text{D) } \displaystyle\int e^x\text{sen}\left(e^x\right)\ dx = -\text{cos}\left(e^x\right)+C$

➤ Ver: Integral del coseno

Integral de seno al cuadrado

Si estás aquí seguro que es porque te interesa la integral de la función seno, así pues, como puede que también te interese saber cuál es la integral de seno al cuadrado te dejamos su fórmula a continuación.

La integral de seno al cuadrado de x es igual a un medio de x menos el seno de 2x partido por cuatro más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{sen}^2(x) \ dx=\frac{x}{2}-\frac{\text{sen}(2x)}{4}+C$

La integral del seno al cuadrado no es tan fácil de resolver como la integral del seno, por eso te dejamos el siguiente enlace para que puedas ver la demostración de la fórmula de la integral de seno al cuadrado.

➤ Ver: Demostración de la fórmula de la integral de seno al cuadrado

Fórmula de la integral del seno

Ejemplo de la integral del seno

Ejercicios resueltos de la integral del seno

Integral de seno al cuadrado

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