▷ Función Seno: gráfica, características, fórmula...

En esta página encontrarás todo sobre la función seno: qué es, cuál es su fórmula, cómo representarla en una gráfica, las características de este tipo de función, amplitud, periodo, etc. Además, podrás ver diferentes ejemplos de funciones seno para entender el concepto completamente. Incluso se explica el teorema del seno y las relaciones que tiene la función seno con las otras razones trigonométricas.

Índice

Fórmula de la función seno

La función seno de un ángulo α es una función trigonométrica cuya fórmula se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo recto).

Este tipo de función matemática suele escribirse con la abreviatura «sen» o «sin» (del latín sinus). Además, también se le puede llamar función sinusoidal, sinusoide o senoide.

La función seno es una de las razones trigonométricas más conocidas, junto con el coseno y la tangente de un ángulo.

Valores característicos de la función seno

Hay algunos ángulos determinados que se repiten frecuentemente y, por lo tanto, es conveniente saber el valor de la función seno en estos ángulos:

valores caracteristicos o tipicos de la funcion seno

De forma que el signo de la función seno depende del cuadrante en el que se encuentre el ángulo: si el ángulo está dentro del primero o segundo cuadrantes el seno será positivo, por contra, si el ángulo cae en el tercero o cuarto cuadrante el seno será negativo.

Representación gráfica de la función seno

Con la tabla de valores que hemos visto en el apartado anterior podemos graficar la función seno. De modo que al representar la función seno gráficamente se obtiene:

ejemplo de la grafica de la funcion seno

Como puedes ver en la gráfica, los valores de las imágenes de la función seno siempre están entre +1 y -1, es decir, está acotada superiormente por +1 e inferiormente por -1. Además, los valores se van repitiendo cada 360 grados (2π radianes), por lo que se trata de una función periódica cuyo periodo es 360º.

Por otro lado, en este gráfico se aprecia perfectamente que la función seno es impar, porque sus elementos opuestos tienen imágenes opuestas, o dicho de otra forma, es simétrica respecto el origen (0,0). Por ejemplo, el seno de 90º es 1 y el de -90º es -1.

Propiedades de la función seno

La función seno tiene las siguientes características:

El dominio de la función seno son todos los números reales ya que, como se ve en la gráfica, la función existe por cualquier valor de la variable independiente x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

El recorrido o rango de la función seno va desde el 1 negativo hasta el 1 positivo (ambos incluidos).

$\text{Im } f= [-1,1]$

Se trata de una función continua e impar de periodicidad 2π.

$\displaystyle \text{sen}(-x) =- \text{sen }x$

Este tipo de función trigonométrica tiene un único punto de corte con el eje de las ordenadas (eje Y) en el punto (0,0).

$(0,0)$

En cambio, intercepta periódicamente con el eje de las abscisas (eje X) en las coordenadas múltiples de pi.

$(k\pi,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

El máximo de la función seno se produce cuando:

$x = \cfrac{\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

Y al contrario, el mínimo de la función seno tiene lugar en:

$x = \cfrac{3\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

La derivada de la función seno es el coseno:

$f(x)=\text{sen } x \ \longrightarrow \ f'(x)= \text{cos } x$

Por último, la integral de la función seno es el coseno cambiado de signo:

$\displaystyle \int \text{sen } x \ dx= -\text{cos } x + C$

Periodo y amplitud de la función seno

Como hemos visto en su gráfica, la función seno es una función periódica, es decir, sus valores se van repitiendo según una frecuencia. Además, los valores máximos y mínimos entre los que oscila depende de su amplitud. Por lo tanto, dos rasgos que determinan la función seno son su periodo y su amplitud:

$\displaystyle f(x)= A\text{sen}(wx)$

El periodo de la función seno es la distancia entre dos puntos en los que se repite la gráfica, y se calcula con la siguiente fórmula:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

La amplitud de la función seno es equivalente al coeficiente de delante del término seno.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

A continuación puedes ver un gráfico donde se aprecian los efectos de cambiar el periodo o la amplitud:

En la función representada de color verde podemos ver que al duplicar la amplitud la función va de +2 a -2, en vez de +1 a -1. Por otra parte, en la función representada de color rojo se puede apreciar como esta va el doble de rápido que la función seno «canónica», ya que se ha reducido a la mitad su periodo.

Teorema del seno

Aunque normalmente el seno se aplica a triángulos rectángulos, también existe un teorema que sirve para cualquier tipo de triángulo: el teorema del seno o de los senos.

El teorema del seno relaciona los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera de la siguiente manera:

$\cfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \cfrac{b}{\text{sen }\beta} = \cfrac{c}{\text{sen }\gamma}$

Relaciones de la función seno con otras razones trigonométricas

A continuación tienes las relaciones del seno con las razones trigonométricas más importantes de la trigonometría.

Relación con el coseno

La gráfica de la función coseno es equivalente a la curva del seno pero desplazada $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ a la izquierda, por lo que las dos funciones se pueden relacionar mediante la siguiente expresión:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \text{cos}\left(\alpha - \frac{\pi}{2} \right)$

También se pueden relacionar el seno y el coseno con la identidad fundamental trigonométrica:

$\displaystyle \text{sen}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha=1$

Relación con la tangente

Aunque es complejo de demostrar, se puede expresar el seno únicamente en función de la tangente:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \pm \cfrac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Relación con la cosecante

El seno y la cosecante son inversos multiplicativos:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\text{csc }\alpha}$

Relación con la secante

Se puede despejar el seno para que solo dependa de la secante:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{\sqrt{\text{sec }\alpha -1 } }{\text{sec }\alpha}$

Relación con la cotangente

El seno y la cotangente de un ángulo se relacionan mediante la siguiente ecuación:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\sqrt{1+\text{cot}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

2 comentarios en “Función seno”

Ines Lastres
08/09/2022 a las 19:15

Hola una pregunta, cuándo fue publicada esta página? necesito la fecha para poder citarla

Responder
1. Funciones
  11/09/2022 a las 17:42
  
  Hola Inés,
  
  Para citar un artículo de nuestra página web te recomendamos que simplemente pongas el título del artículo, el nombre de la página web, un enlace al artículo y la fecha en la que consultaste el artículo ya que el contenido puede actualizarse y variar.
  
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