▷ Integral de seno al cuadrado

En este post encontrarás ver cuál es el resultado de la integral de seno al cuadrado de x, además, podrás ver la demostración de la fórmula de este tipo de derivada trigonométrica.

Índice

¿Cuál es la integral de seno al cuadrado de x?

➤ Ver: Características de la función seno

La integral de seno al cuadrado de x es igual a un medio de x menos el seno de 2x partido por cuatro más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{sen}^2(x) \ dx=\frac{x}{2}-\frac{\text{sen}(2x)}{4}+C$

La integral del seno al cuadrado no es tan fácil de resolver como la integral del seno, por eso a continuación puedes ver la demostración de la fórmula de la integral de seno al cuadrado.

➤ Ver: Integral de seno

Demostración de la fórmula de la integral del seno al cuadrado

En este apartado puedes ver cómo se resuelve la integral de seno al cuadrado de x.

$\displaystyle\int\text{sen}^2(x) \ dx$

Para poder solucionar esta integral tenemos que utilizar la siguiente identidad trigonométrica:

$\text{sen}^2(x)=\cfrac{1-\text{cos}(2x)}{2}$

De modo que la integral de seno al cuadrado de x es equivalente a la siguiente integral:

$\displaystyle\int\text{sen}^2(x) \ dx=\int \cfrac{1-\text{cos}(2x)}{2}\ dx$

Gracias a las propiedades de las integrales, podemos separar la integral de una resta de funciones en una resta de integrales:

$\displaystyle\int \cfrac{1-\text{cos}(2x)}{2}\ dx=\int\frac{1}{2}\ dx-\int\frac{\text{cos}(2x)}{2}\ dx$

Así pues, resolvemos las dos integrales por separado:

$\displaystyle\int\frac{1}{2}\ dx-\int\frac{\text{cos}(2x)}{2}\ dx=\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2}\int\text{cos}(2x)\ dx$

Para calcular la integral del coseno de 2x tenemos que multiplicar y dividir por la derivada de su argumento, esto es 2, y luego sacar fuera de la integral el denominador:

$\begin{aligned}\displaystyle &\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2}\int\text{cos}(2x)\ dx=\\[2ex]&=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{2}{2}\cdot \text{cos}(2x)\ dx=\\[2ex]&=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int 2\cdot \text{cos}(2x)\ dx\end{aligned}$

Y finalmente aplicamos la fórmula de la integral del coseno:

$\displaystyle\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int 2\cdot \text{cos}(2x)\ dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\cdot\text{sen}(2x)+C$

De este modo queda demostrada la fórmula de la integral de seno al cuadrado de x:

$\displaystyle\int\text{sen}^2(x) \ dx=\frac{x}{2}-\frac{\text{sen}(2x)}{4}+C$

➤ Ver: Integral de coseno al cuadrado

¿Cuál es la integral de seno al cuadrado de x?

Demostración de la fórmula de la integral del seno al cuadrado

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