▷ Integral de coseno al cuadrado

En este artículo te explicamos cómo se calcula la integral de coseno al cuadrado. Así pues, encontrarás cuál es la integral del coseno al cuadrado y, además, la demostración de su fórmula.

Índice

¿Cuál es la integral de coseno al cuadrado?

➤ Ver: Características de la función coseno

La integral de coseno al cuadrado de x es igual a x partido por dos más el seno de 2x partido por cuatro más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{cos}^2(x) \ dx=\frac{x}{2}+\frac{\text{sen}(2x)}{4}+C$

Como podrás imaginar, resolver la integral de coseno al cuadrado no es tarea fácil, por eso en el siguiente apartado puedes ver paso a paso cómo se calcula. Sin embargo, para poder entender el proceso primero debes saber cómo se integra la función coseno, por lo que te recomendamos que eches un vistazo al siguiente artículo antes de seguir con la explicación:

➤ Ver: Integral de coseno

Demostración de la fórmula de la integral de coseno al cuadrado

A continuación, demostramos la fórmula de la integral de coseno al cuadrado de x, de este modo podrás ver cómo se resuelve esta integral trigonométrica.

$\displaystyle\int\text{cos}^2(x) \ dx$

Para solucionar esta integral tenemos que emplear la siguiente identidad trigonométrica:

$\text{cos}^2(x)=\cfrac{1+\text{cos}(2x)}{2}$

Así que sustituimos la expresión anterior en nuestra integral:

$\displaystyle\int\text{cos}^2(x) \ dx=\int \cfrac{1+\text{cos}(2x)}{2}\ dx$

Luego aplicamos las propiedades de las integrales y separamos la integral en una suma de integrales:

$\displaystyle\int \cfrac{1+\text{cos}(2x)}{2}\ dx=\int\frac{1}{2}\ dx+\int\frac{\text{cos}(2x)}{2}\ dx$

Resolvemos la integral de la constante:

$\displaystyle\int\frac{1}{2}\ dx+\int\frac{\text{cos}(2x)}{2}\ dx=\frac{x}{2}+\int\frac{\text{cos}(2x)}{2}\ dx$

Por otro lado, solucionamos la integral del coseno de 2x partido por dos:

$\begin{aligned} & \displaystyle\frac{x}{2}+\int\frac{\text{cos}(2x)}{2}\ dx=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int\text{cos}(2x)\ dx=\\[2ex]&=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int\frac{2}{2}\cdot\text{cos}(2x)\ dx=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \int 2\text{cos}(2x)\ dx=\\[2ex]&=\frac{x}{2}+\frac{1}{4} \cdot \text{sen}(2x)+C\end{aligned}$

De esta forma hemos hallado la solución de la integral y queda demostrada la fórmula de la integral del coseno al cuadrado de x:

$\displaystyle\int\text{cos}^2(x) \ dx=\frac{x}{2}+\frac{\text{sen}(2x)}{4}+C$

➤ Ver: Integral de seno al cuadrado

¿Cuál es la integral de coseno al cuadrado?

Demostración de la fórmula de la integral de coseno al cuadrado

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