▷ Integral de la secante

En este post encontrarás cuál es la integral de la secante. Así pues, podrás ver cómo se resuelve la integral de la función secante y, además, podrás practicar con un ejercicio resuelto paso a paso.

Índice

Fórmula de la integral de la secante

La integral de la secante de x es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de la suma de la secante de x y la tangente de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{sec}(x)\ dx=\ln|\text{sec}(x)+\text{tan}(x)|+C$

Ten en cuenta que cuando en el argumento de la secante tenemos una función y además la secante está multiplicada por la derivada de dicha función, el resultado de la integral es el mismo pero en el argumento de las funciones aparece la función.

$\displaystyle\int\text{sec}(u)\cdot u'\ dx=\ln|\text{sec}(u)+\text{tan}(u)|+C$

➤ Ver: Derivada de la secante

Por lo tanto, la fórmula de la integral de la secante es la siguiente:

Ver demostración de la fórmula de la integral de la secante

A continuación procederemos a demostrar la fórmula de la integral de la secante de x.

$\displaystyle\int\text{sec}(x)\ dx$

Para poder resolver esta integral, tenemos que multiplicar y dividir la integral por la suma de la secante de x más la tangente de x. Luego verás por qué se hace esto.

$\displaystyle\int\text{sec}(x)\cdot \frac{\text{sec}(x)+\text{tan}(x)}{\text{sec}(x)+\text{tan}(x)}\ dx$

Efectuamos la multiplicación:

$\displaystyle\int\frac{\text{sec}(x)\cdot \bigl(\text{sec}(x)+\text{tan}(x)\bigr)}{\text{sec}(x)+\text{tan}(x)}\ dx$

$\displaystyle\int\frac{\text{sec}^2(x)+\text{sec}(x)\text{tan}(x)}{\text{sec}(x)+\text{tan}(x)}\ dx$

Si te fijas bien, en el numerador tenemos la derivada de la secante y la derivada de la tangente, así que el numerador es la derivada del denominador. Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula de la integral logarítmica para resolver la integral:

$\displaystyle\int\frac{\text{sec}^2(x)+\text{sec}(x)\text{tan}(x)\bigr)}{\text{sec}(x)+\text{tan}(x)}\ dx=\ln|\text{sec}(x)+\text{tan}(x)|+C$

Así pues, queda demostrada la fórmula de la integral de la secante de x.

$\displaystyle\int\text{sec}(x)\ dx=\ln|\text{sec}(x)+\text{tan}(x)|+C$

➤ Ver: Tabla de derivadas

Ejemplo de la integral de la función secante

Para que puedas entender mejor cómo se resuelve la integral de una función secante, a continuación te dejamos con un ejemplo resuelto paso a paso. En concreto, vamos a resolver la integral de la secante de 2x.

$\displaystyle\int\text{sec}(2x)\ dx$

Para poder calcular la integral necesitamos que la secante esté multiplicada por la derivada de su argumento, que en este caso es 2. Para lograrlo, multiplicamos y dividimos por dos la secante y luego sacamos el denominador fuera de la integral:

$\displaystyle\int\text{sec}(2x)\ dx=\int\frac{2}{2}\cdot \text{sec}(2x)\ dx=\frac{1}{2}\int 2\cdot \text{sec}(2x)\ dx$

Ahora ya podemos aplicar la fórmula de la integral de la función secante:

$\displaystyle\int\text{sec}(u)\cdot u'\ dx=\ln|\text{sec}(u)+\text{tan}(u)|+C$

Así pues, la solución de esta integral trigonométrica es la siguiente:

$\displaystyle\frac{1}{2}\int 2\cdot \text{sec}(2x)\ dx=\frac{1}{2}\cdot \ln|\text{sec}(2x)+\text{tan}(2x)|+C$

➤ Ver: Integral de la cosecante

Integral de la secante al cuadrado

$\displaystyle\int\text{sec}^2(x)\ dx$

Como bien sabes, la integral es la operación matemática inversa de la derivada. De manera que si al derivar una función f₁ obtenemos la función f₂, significa que al integrar la función f₂ conseguiremos la función f₁.

Así pues, la secante elevada al cuadrado es la derivada de otra función trigonométrica, concretamente, al derivar la función tangente obtenemos la secante al cuadrado.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{tan}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\[1.5ex] f'(x)=\text{sec}^2(x)\end{array}$

Entonces, si al derivar la tangente de x se obtiene la secante elevada al cuadrado de x, significa que al integrar la secante cuadrada se obtiene la tangente de x.

$\displaystyle\int\text{sec}^2(x)\ dx=\text{tan}(x)+C$

Por lo tanto, la integral de la secante al cuadrado de x es igual a la tangente de x.

➤ Ver: Derivada de la tangente

Fórmula de la integral de la secante

Ejemplo de la integral de la función secante

Integral de la secante al cuadrado

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