▷ Integrales logarítmicas

En este post te explicamos cómo resolver integrales logarítmicas. Así pues, encontrarás las diferentes fórmulas de las integrales logarítmicas y varios ejemplos resueltos de integrales de funciones logarítmicas.

Índice

Fórmulas de las integrales logarítmicas

Las fórmulas para resolver integrales logarítmicas son las siguientes:

La integral de la derivada de uno partido por x es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de x.
La integral del logaritmo natural de x es igual a x por el logaritmo natural de x menos x.
La integral del logaritmo en base a de x da como resultado el cociente entre x y el logaritmo natural de a multiplicado por el logaritmo natural de x menos 1.

Lógicamente, estas fórmulas de integrales con logaritmos también se aplican cuando está presente la regla de la cadena, es decir, cuando en lugar de una x tenemos una función en el argumento y, además, la derivada de dicha función está multiplicando.

$\displaystyle\int\frac{u'}{u}\ dx= \ln|u| + C$

$\displaystyle\int\ln(u)\cdot u'\ dx= u\cdot \ln(u) -u+ C$

$\displaystyle\int\log_a(u)\cdot u'\ dx= \frac{u}{\ln(a)}\cdot \bigl(\ln(u)-1\bigr)+ C$

➤ Ver: Funciones logarítmicas

Ejemplos de integrales logarítmicas

Después de ver cuáles son las fórmulas de las integrales logarítmicas, a continuación te dejamos con varios ejemplos resueltos de integrales con logaritmos para que puedas ver cómo se resuelven este tipo de integrales.

Ejemplo 1: integral de una fracción

$\displaystyle\int \frac{1}{2x+5} \ dx$

Para poder resolver esta integral, necesitamos que en el numerador de la fracción esté la derivada de la función del denominador. La derivada del denominador es 2, por lo que para lograrlo tenemos que multiplicar y dividir la fracción por dos y luego sacar fuera de la integral el denominador:

$\displaystyle\int \frac{1}{2x+5} \ dx=\int \frac{2}{2}\cdot\frac{1}{2x+5} \ dx=\frac{1}{2}\int \frac{2}{2x+5} \ dx$

Ahora que ya tenemos la derivada del denominador en el numerador, podemos utilizar la siguiente fórmula de una integral logarítmica:

$\displaystyle\int\frac{u'}{u}\ dx= \ln|u| + C$

De modo que la solución de la integral es la siguiente:

$\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{2}{2x+5} \ dx=\frac{1}{2}\cdot\ln |2x+5| + C$

Ejemplo 2: integral de un logaritmo natural

$\displaystyle\int \ln(x^3)\cdot 3x^2 \ dx$

En este caso, la integral está formada por el producto del logaritmo natural (o logaritmo neperiano) de una función y la derivada de dicha función, por lo que podemos usar la siguiente fórmula:

$\displaystyle\int\ln(u)\cdot u'\ dx= u\cdot \ln(u) -u+ C$

Así pues, la integral logarítmica resuelta queda de la siguiente manera:

$\displaystyle\int \ln(x^3)\cdot 3x^2 \ dx=x^3\ln (x^3)-x^3+C$

Ejemplo 3: integral de un logaritmo en base 10

$\displaystyle\int \log(5x) \ dx$

Para poder calcular el resultado de esta integral logarítmica tenemos que multiplicar y dividir por 5, de este modo el logaritmo estará multiplicado por la derivada de su argumento:

$\displaystyle\int \log(5x) \ dx=\int \frac{5}{5}\cdot \log(5x)\ dx=\frac{1}{5}\int 5\cdot \log(5x)\ dx$

Así pues, para solucionar la integral del logaritmo en base 10 debemos utilizar la siguiente fórmula:

$\displaystyle\int\log_a(u)\cdot u'\ dx= \frac{u}{\ln(a)}\cdot \bigl(\ln(u)-1\bigr)+ C$

Por lo tanto, el resultado de la integral logarítmica es el siguiente:

$\displaystyle\frac{1}{5}\int 5\cdot \log(5x)\ dx=\frac{1}{5}\cdot \frac{5x}{\ln (10)}\cdot\bigl(\ln(5x)-1\bigr)+ C=\frac{x\bigl(\ln(5x)-1\bigr)}{\ln(10)}+C$

➤ Ver: Derivada de una función logarítmica

Ejercicios resueltos de integrales logarítmicas

Resuelve las siguientes integrales logarítmicas:

$\text{A) }\displaystyle\int\frac{x}{x^2+1}\ dx$

$\text{B) }\displaystyle\int\frac{1}{x\ln (x)}\ dx$

$\text{C) }\displaystyle\int\log_6(x) dx$

$\text{D) }\displaystyle\int e^x\ln (e^x)\ dx$

$\text{E) }\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx$

$\text{F) }\displaystyle\int x\ln(4x^2)\ dx$

Ver solución

$\text{A) }\displaystyle\int\frac{x}{x^2+1}\ dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}=\frac{1}{2}\cdot \ln|x^2+1|+C$

$\text{B) }\displaystyle\int\frac{1}{x\ln (x)}\ dx= \int\frac{\frac{1}{x}}{\ln (x)}=\ln|\ln(x)|+C$

$\text{C) }\displaystyle\int\log_6(x) dx=\frac{x}{\ln(6)}\cdot \bigl(\ln (x)-1\bigr)$

$\text{D) }\displaystyle\int e^x\ln (e^x)\ dx=e^x\ln (e^x)-e^x+C$

$\begin{aligned}\text{E) }&\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx=\int \frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ dx=\\[2ex]&=-\int \frac{-\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ dx=-\ln\bigl(\text{cos}(x)\bigr)+C\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{F) }&\displaystyle\int x\ln(4x^2)\ dx=\frac{1}{8}\int 8x\ln(4x^2)\ dx=\\[2ex]&=\frac{4x^2\ln(4x^2)-4x^2}{8}+C=\frac{x^2\ln(4x^2)-x^2}{2}+C\end{aligned}$

➤ Ver: Integrales exponenciales