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Derivada de una función logarítmica

Aquí encontrarás cómo resolver la derivada de una función logarítmica en cualquier base (fórmula). Además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de derivadas de funciones logarítmicas.

La fórmula para dividir una función logarítmica depende de si el logaritmo es natural (de base e) o de cualquier otra base. Por tanto, primero veremos las dos fórmulas por separado con un ejemplo para cada caso y luego haremos un resumen de las dos reglas.

Derivada de un logaritmo natural o neperiano

La derivada de un logaritmo natural (o logaritmo neperiano) es el cociente de la derivada del argumento del logaritmo dividido entre la función del argumento.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Lógicamente, si la función dentro del logaritmo es la función identidad, en el numerador de la derivada queda un 1:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Fíjate en el siguiente ejemplo en el que se resuelve la derivada del logaritmo natural de 3x:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Recuerda que el logaritmo natural es un logaritmo cuya base es el número e (número de Euler).

\ln(x)=\log_e(x)

Derivada de un logaritmo en base a

La derivada de un logaritmo en cualquier base es igual a 1 partido por el producto de x por el logaritmo natural de la base del logaritmo original.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

De manera que si aplicamos la regla de la cadena, la regla de la derivada logarítmica queda:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Por ejemplo, la derivada del logaritmo en base 2 de x al cuadrado es:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Fórmula de la derivada de una función logarítmica

Vista la definición de la derivada logarítmica y sus dos posibles variantes, a continuación tienes un resumen de las dos fórmulas para que te sea más fácil memorizarlas.

derivada de una funcion logaritmica

Ejercicios resueltos de derivadas de funciones logarítmicas

Ejercicio 1

Deriva la siguiente función logarítmica:

f(x)=\log(3x^2)

En este caso debemos resolver la derivada de un logaritmo en base decimal, por lo que debemos aplicar la siguiente fórmula:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

De modo que la derivada del logaritmo en base 10 es:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Recuerda que si un logaritmo no tiene base significa que su base es 10.

 

Ejercicio 2

Deriva el siguiente logaritmo natural (o neperiano):

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

La función de este problema se trata de un logaritmo natural, por lo que debemos usar la siguiente regla para derivar la función logarítmica:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Así que la derivada del logaritmo neperiano es:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

 

Ejercicio 3

Deriva el siguiente logaritmo:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

En este ejercicio tenemos que derivar un logaritmo en base 7, así que usaremos la siguiente fórmula:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Y la derivada del logaritmo es:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

 

Ejercicio 4

Halla la derivada de la siguiente función logarítmica con una fracción:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Para resolver la derivada logarítmica, primero podemos simplificar la función aplicando las propiedades de los logaritmos:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Ahora tenemos que emplear la fórmula de la derivada logarítmica dos veces, pero las dos derivadas són más fáciles de calcular.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

En definitiva, la derivada de la función es:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

 

Ejercicio 5

Calcula la derivada de la siguiente función logarítmica con una raíz:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

En primer lugar, simplificaremos la función utilizando las propiedades de los logaritmos:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

Y una vez hemos quitado el radical de la función, usamos la regla de la derivada del logaritmo natural o neperiano:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Por lo tanto, la derivada de la función logarítmica compuesta es:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

 

2 comentarios en “Derivada de una función logarítmica”

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