▷ Integral de la cosecante

En este post te explicamos cómo se resuelve la integral de la cosecante. Así que encontrarás cuál es la integral de la cosecante y, además, la demostración de la fórmula de esta integral trigonométrica.

Índice

Fórmula de la integral de la cosecante

La integral de la cosecante de x es igual a menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de la suma de la cosecante de x y la cotangente de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{cosec}(x)\ dx=-\ln|\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)|+C$

Ten en cuenta que cuando en el argumento de la cosecante tenemos una función y la derivada de dicha función está multiplicando a la cosecante, en el argumento de las funciones del resultado de la integral también aparece esa función.

$\displaystyle\int\text{cosec}(u)\cdot u' \ dx=-\ln|\text{cosec}(u)+\text{cotg}(u)|+C$

➤ Ver: Derivada de la cosecante

Así pues, la fórmula de la integral de la cosecante es la siguiente:

Ver demostración de la fórmula de la integral de la cosecante

A continuación se procede a demostrar la fórmula de la integral de la cosecante de x.

$\displaystyle\int\text{cosec}(x)\ dx$

Para poder resolver esta integral, tenemos que multiplicar y dividir por la suma de la cosecante de x más la cotangente de x. Más abajo verás por qué se hace esto.

$\displaystyle\int\text{cosec}(x)\cdot \frac{\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)}{\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)}\ dx$

Ahora multiplicamos la cosecante por la fracción:

$\displaystyle\int\frac{\text{cosec}(x)\cdot \bigl(\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)\bigr)}{\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)}\ dx$

$\displaystyle\int\frac{\text{cosec}^2(x)+\text{cosec}(x)\text{cotg}(x)}{\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)}\ dx$

Luego hacemos el mismo procedimiento pero con -1 para obtener la fracción de dentro de la integral cambiada de signo:

$\displaystyle\int\frac{-1}{-1}\cdot \frac{\text{cosec}^2(x)+\text{cosec}(x)\text{cotg}(x)}{\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)}\ dx$

$\displaystyle-\int\frac{-\text{cosec}^2(x)-\text{cosec}(x)\text{cotg}(x)}{\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)}\ dx$

Gracias a las diferentes operaciones que hemos introducido en la integral, ahora en el numerador tenemos la derivada de la cosecante y la derivada de la cotangente, es decir, el numerador es la derivada del denominador. Por lo tanto, podemos resolver la integral de la siguiente manera:

$\displaystyle-\int\frac{-\text{cosec}^2(x)-\text{cosec}(x)\text{cotg}(x)}{\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)}\ dx=-\ln|\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)|+C$

Y de este modo queda demostrada la fórmula de la integral de la cosecante de x.

$\displaystyle\int\text{cosec}(x)\ dx=-\ln|\text{cosec}(x)+\text{cotg}(x)|+C$

➤ Ver: Derivadas

Ejemplo de la integral de la función cosecante

En este apartado resolveremos la integral de la cosecante de 2x, así podrás ver cómo se calcula la integral de la función cosecante con un argumento diferente de x.

$\displaystyle\int\text{cosec}(2x)\ dx$

Para poder solucionar la integral necesitamos que la cosecante esté multiplicada por la derivada de su argumento, esto es 2. Para ello, multiplicamos y dividimos por dos la cosecante y luego sacamos el denominador fuera de la integral:

$\displaystyle\int\text{cosec}(2x)\ dx=\int\frac{2}{2}\cdot \text{cosec}(2x)\ dx=\frac{1}{2}\int 2\cdot \text{cosec}(2x)\ dx$

De este modo podemos usar la fórmula de la integral de la cosecante:

$\displaystyle\int\text{cosec}(u)\cdot u' \ dx=-\ln|\text{cosec}(u)+\text{cotg}(u)|+C$

Entonces, la solución de esta integral trigonométrica es la siguiente:

$\displaystyle\frac{1}{2}\int 2\cdot \text{cosec}(2x)\ dx=\frac{-\ln|\text{cosec}(2x)+\text{cotg}(2x)|}{2}+C$

➤ Ver: Integral de la secante

Integral de la cosecante al cuadrado

$\displaystyle\int\text{cosec}^2(x)\ dx$

Como ya sabes, la integral es la operación matemática inversa de la derivada. De manera que si al derivar una función f₁ obtenemos la función f₂, significa que al integrar la función f₂ conseguiremos la función f₁. Por ejemplo, el resultado de derivar x² es 2x y, por tanto, la integral de 2x es igual a x².

Así pues, la cosecante elevada al cuadrado es la derivada de otra función trigonométrica, en concreto, es la derivada de la cotangente cambiada de signo.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\[1.5ex] f'(x)=-\text{cosec}^2(x)\end{array}$

Entonces, como la integración y la derivación son operaciones inversas, esto implica que la integral de la cosecante al cuadrado de x da como resultado la cotangente de x cambiada de signo.

$\displaystyle\int\text{cosec}^2(x)\ dx=-\text{cotg}(x)+C$

En definitiva, la integral de la cosecante al cuadrado de x es igual a menos la cotangente de x.

➤ Ver: Derivada de la cotangente

Fórmula de la integral de la cosecante

Ejemplo de la integral de la función cosecante

Integral de la cosecante al cuadrado

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