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Derivada de la cotangente

En este post veremos cómo derivar la cotangente de una función. Encontrarás ejemplos de la derivada de la cotangente e incluso ejercicios resueltos paso a paso. Finalmente, demostramos la fórmula de la derivada de la cotangente.

Fórmula de la derivada de la cotangente

La derivada de la cotangente de x es igual a menos uno partido por el cuadrado del seno de x. La derivada de la cotangente de x también es equivalente a menos el cuadrado de la cosecante de x, y a menos la suma de uno más el cuadrado de la cotangente de x.

\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{1}{\text{sen}^2(x)}=-\text{cosec}^2(x)=-\left(1+\text{cotg}^2(x)\right)\end{array}

Si el argumento de la cotangente es una función diferente de x, las fórmulas de la derivada de la cotangente de una función son las mismas que las anteriores, pero multiplicando las expresiones por la derivada de la función del argumento.

\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}=-u' \cdot \text{cosec}^2(u)=-u' \cdot \left(1+\text{cotg}^2(u)\right)\end{array}

Esto significa que existen tres fórmulas diferentes para hallar la derivada de la cotangente. Pero, lógicamente, no hace falta utilizar las tres fórmulas, sino que puedes derivarla con la fórmula que prefieras.

derivada de la cotangente

Ejemplos de la derivada de la cotangente

Ahora que ya hemos visto la fórmula de la derivada de la cotangente de una función, en este apartado vamos a resolver varios ejemplos de este tipo de derivadas trigonométricas.

Ejemplo 1: Derivada de la cotangente de 2x

En este ejemplo veremos cuál es la derivada de la cotangente de la función 2x.

f(x)=\text{cotg}(2x)

Como hemos visto, para calcular la derivada de la cotangente, puedes utilizar cualquiera de las tres fórmulas que hemos visto más arriba. Nosotros en este caso emplearemos la fórmula del seno:

f(x)=\text{cotg}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}

Como 2x és un término de primer grado, su derivada es 2. De modo que la derivada de la cotangente de 2x es menos dos dividido por el cuadrado del seno de 2x:

f(x)=\text{cotg}(2x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2}{\text{sen}^2(2x)}

Ejemplo 2: Derivada de la cotangente de x al cuadrado

En el segundo ejemplo determinaremos cuánto vale la derivada de la cotangente de x al cuadrado.

f(x)=\text{cotg}(x^2)

En este ejemplo la función del argumento de la cotangente no es una x, por lo tanto, tenemos que aplicar la regla de la cadena para hacer la derivación de la cotangente.

f(x)=\text{cotg}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}

La derivada de x al cuadrado es 2x, por lo que la derivada de la cotangente de x2 es:

f(x)=\text{cotg}(x^2)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{\text{sen}^2(x^2)}

Ejemplo 3: Derivada de la cotangente al cubo

Por último, hallaremos cuánto es derivada de la cotangente al cubo de una función polinómica:

f(x)=\text{cotg}^3(x^5-6x^2+10)

En este caso tenemos una composición de funciones, de modo que tenemos que utilizar la regla de la cadena junto con la fórmula de la derivada de una potencia para hallar la derivada de la cotangente:

\displaystyle f'(x)=-3\cdot\text{cotg}^2(x^5-6x^2+10)\cdot\frac{5x^4-12x}{\text{sen}^2(x^5-6x^2+10)}

Ejercicios resueltos de la derivada de la cotangente

Calcula la derivada de las siguientes funciones cotangente:

\text{A) } f(x)=\text{cotg}(5x)

\text{B) } f(x)=\text{cotg}(2x^4+10x-3)

\text{C) } \displaystyle f(x)=\text{cotg}^5\left(\frac{x}{2}\right)

\text{D) } f(x)=\text{cotg}\left(e^{x^2}\right)

\text{E) } f(x)=\text{cotg}\bigl(\ln(x^2)\bigr)

\text{F) } f(x)=\text{cotg}\left(\sqrt{8x}\right)

\text{A) } f'(x)=-\cfrac{5}{\text{sen}^2(5x)}

\text{B) } f'(x)=-\cfrac{8x+10}{\text{sen}^2(2x^4+10x-3)}

\text{C) } \displaystyle f'(x)=5\cdot \text{cotg}^4\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{\text{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right)}\right)\cdot \frac{1}{2}=-\frac{5\cdot \text{cotg}^4\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cdot \text{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right)}

\text{D) } f'(x)=-\cfrac{2x\cdot e^{x^2}}{\text{sen}^2(e^{x^2})}

\text{E) } f'(x)=-\cfrac{\cfrac{2x}{x^2}}{\text{sen}^2\bigl(\ln(x^2)\bigr)}=-\cfrac{2}{x\cdot\text{sen}^2\bigl(\ln(x^2)\bigr)}

\text{F) } f'(x)=-\cfrac{\frac{8}{2\sqrt{8x}}}{\text{sen}^2\left(\sqrt{8x}\right)}=-\cfrac{4}{\sqrt{8x}\cdot \text{sen}^2\left(\sqrt{8x}\right)}

 

Demostración de la derivada de la cotangente

En esta última sección demostraremos la fórmula de la derivada de la cotangente. Para ello, partiremos de la definición matemática de la función cotangente, que es igual al coseno dividido entre el seno:

\text{cotg}(x)=\cfrac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}

Ahora derivamos la función aplicando la regla de la derivada de un cociente;

\displaystyle\bigl(\text{cotg}(x)\bigr)'=\left(\frac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}\right)'

\text{cotg}'(x)=\cfrac{-\text{sen}(x)\cdot \text{sen}(x)-\text{cos}(x)\cdot \text{cos}(x) }{\text{sen}^2(x)}

\text{cotg}'(x)=\cfrac{-\text{sen}^2(x)-\text{cos}^2(x)}{\text{sen}^2(x)}

Sacamos factor común en el denominador y quitamos el signo negativo de la fracción:

\text{cotg}'(x)=\cfrac{-\bigl(\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)\bigr)}{\text{sen}^2(x)}

\text{cotg}'(x)=-\cfrac{\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)}{\text{sen}^2(x)}

Por otro lado, sabemos que el cuadrado del seno más el cuadrado del coseno es igual a uno gracias a la identidad trigonométrica fundamental.

\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)=1

\text{cotg}'(x)=-\cfrac{1}{\text{sen}^2(x)}

Y de esta manera hemos conseguido la primera fórmula de la derivada de la cotangente. Asimismo, la cosecante es el inverso multiplicativo del seno, por lo que la segunda regla de la derivada de la cotangente también queda demostrada:

\text{cotg}'(x)=-\text{sec}^2(x)

Por último, se puede demostrar la tercera fórmula de la derivada de esta función trigonométrica transformando la fracción del paso anterior en una suma de fracciones:

\text{cotg}'(x)=-\cfrac{\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)}{\text{sen}^2(x)}

\displaystyle \text{cotg}'(x)=-\left(\frac{\text{sen}^2(x)}{\text{sen}^2(x)}+\frac{\text{cos}^2(x)}{\text{sen}^2(x)}\right)

\text{tan}'(x)=-\bigl(1+\text{cotg}^2(x)\bigr)

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