▷ Integral de cotangente

En este post encontrarás cuál es el resultado de la integral de cotangente, la demostración de la fórmula de la integral de cotangente y, además, un ejercicio resuelto paso a paso.

Índice

Fórmula de la integral de la cotangente

La integral de la cotangente de x es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto del seno de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{cotg}(x)\ dx=\ln |\text{sen}(x)|+C$

Cuando en el argumento de la cotangente hay una función diferente de x, para poder integrar la cotangente esta debe estar multiplicada por la derivada de dicha función.

$\displaystyle\int\text{cotg}(u)\cdot u'\ dx=\ln |\text{sen}(u)|+C$

De modo que la fórmula de la integral de la cotangente es la siguiente:

Ver demostración de la fórmula de la integral de la cotangente

A continuación vamos a demostrar la fórmula de la integral de la cotangente de x.

$\displaystyle\int\text{cotg}(x)\ dx$

Por definición, la cotangente es la razón trigonométrica inversa de la tangente, por tanto:

$\displaystyle\int\text{cotg}(x)\ dx=\int\frac{1}{\text{tan}(x)}\ dx$

Asimismo, la tangente es equivalente al cociente entre el seno y el coseno:

$\displaystyle\int\frac{1}{\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}\ dx=\int\frac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}\ dx$

Ahora tenemos en el numerador la derivada del denominador, ya que la derivada del seno es igual al coseno. Por lo tanto, podemos resolver la integral de la siguiente manera:

$\displaystyle\int\frac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}\ dx=\ln |\text{sen}(x)|+C$

Y de esa forma queda demostrada la fórmula de la integral de la cotangente:

$\displaystyle\int\text{cotg}(x)\ dx=\ln |\text{sen}(x)|+C$

➤ Ver: Derivada de la cotangente

Ejemplo de la integral de la función cotangente

En este apartado resolveremos la integral de la cotangente de 2x, así podrás ver cómo se resuelve la integral de la cotangente de una función diferente de x.

$\displaystyle\int\text{cotg}(2x)\ dx$

Para poder calcular la integral necesitamos que la cotangente esté multiplicada por la derivada de su argumento. La derivada de 2x es 2, por lo que tenemos que multiplicar y dividir por dos la cotangente y luego sacar el denominador fuera de la integral:

$\displaystyle\int\text{cotg}(2x)\ dx=\int\frac{2}{2}\cdot \text{cotg}(2x)\ dx=\frac{1}{2}\int 2\cdot \text{cotg}(2x)\ dx$

Ahora utilizamos la fórmula que hemos visto más arriba para solucionar la integral:

$\displaystyle\int\text{cotg}(u)\cdot u'\ dx=\ln |\text{sen}(u)|+C$

Y finalmente resolvemos la integral aplicando la fórmula:

$\displaystyle\frac{1}{2}\int 2\cdot \text{cotg}(2x)\ dx=\frac{1}{2}\cdot \ln|\text{sen}(2x)|+C$

➤ Ver: Integral de la secante
➤ Ver: Integral de la cosecante

Integral de la cotangente al cuadrado

Para terminar, veremos cuál es la integral de la cotangente al cuadrado, ya que se resuelve de manera distinta a la integral de la cotangente sin potencia.

$\displaystyle\int\text{cotg}^2(x)\ dx$

Para solucionar esta integral usaremos la siguiente identidad trigonométrica:

$\text{cotg}^2(x)+1=\text{cosec}^2(x)$

$\text{cotg}^2(x)=\text{cosec}^2(x)-1$

Así pues, al sustituir la cotangente al cuadrado de x por la expresión anterior obtenemos la siguiente integral:

$\displaystyle\int\text{cotg}^2(x)\ dx=\int \bigl(\text{cosec}^2(x)-1\bigr)\ dx$

La integral de una resta de funciones se puede separar en una resta de integrales de las mismas funciones:

$\displaystyle\int \bigl(\text{cosec}^2(x)-1\bigr)\ dx=\int \text{cosec}^2(x)\ dx-\int 1\ dx$

Y ahora resolvemos las dos integrales por separado:

$\displaystyle\int \text{cosec}^2(x)\ dx-\int 1\ dx=-\text{cotg}(x)-x+C$

En definitiva, la integral de la cotangente al cuadrado de x es igual a menos la cotangente de x menos x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{cotg}^2(x)\ dx=-\text{cotg}(x)-x+C$

Fórmula de la integral de la cotangente

Ejemplo de la integral de la función cotangente

Integral de la cotangente al cuadrado

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