▷ Integral del logaritmo neperiano (o logaritmo natural)

En este post te explicamos cómo se resuelve la integral del logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural. Así pues, encontrarás cuál es la fórmula de la integral del logaritmo neperiano y, además, podrás practicar con varios ejercicios resueltos.

Índice

Fórmula de la integral del logaritmo neperiano

La integral del logaritmo neperiano (o logaritmo natural) de x es igual a x por el logaritmo neperiano de x menos x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\ln(x)\ dx=x\cdot \ln(x)-x+C$

Pero cuando en el argumento del logaritmo neperiano tenemos una función y además el logaritmo está multiplicado por la derivada de dicha función, la integral del logaritmo neperiano se resuelve de la siguiente manera:

$\displaystyle\int\ln(u)\cdot u' \ dx=u\cdot \ln(u)-u+C$

Por lo tanto, la fórmula de la integral del logaritmo neperiano (o logaritmo natural) es la siguiente:

Ver demostración de la fórmula de la integral del logaritmo neperiano

$\displaystyle\int\ln(x)\ dx$

Para demostrar la fórmula de la integral del logaritmo neperiano (o logaritmo natural) tenemos que resolver la integral como si fuese una integral por partes:

$\begin{array}{c}u=\ln(x) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=\frac{1}{x}\\[2ex]dv=1\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=x\end{array}$

$\displaystyle\int\ln(x)\cdot 1\ dx=\ln(x)\cdot x-\int x\cdot \frac{1}{x} \ dx$

Ahora resolvemos la integral que hemos obtenido de aplicar la fórmula de la integración por partes:

$\displaystyle x\ln(x)-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx= x\ln(x)-\int 1\ dx=x\ln(x)-x+C$

De modo que queda demostrada la fórmula que sirve para integrar el logaritmo neperiano:

$\displaystyle\int\ln(x)\ dx=x\cdot \ln(x)-x+C=x(\ln(x)-1)+C$

➤ Ver: Derivadas logarítmicas

Ejemplo de la integral de un logaritmo neperiano

Para que puedas ver cómo se calcula la integral de un logaritmo neperiano, en este apartado te dejamos un ejemplo resuelto paso a paso. En concreto, vamos a resolver la integral del logaritmo neperiano de la función 2x.

$\displaystyle\int\ln(2x)\ dx$

Para poder solucionar esta integral logarítmica, necesitamos que el logaritmo esté multiplicado por la derivada de su argumento. Para lograr esto, multiplicamos y dividimos por la derivada del argumento y luego sacamos el denominador fuera de la integral:

$\displaystyle\int\ln(2x)\ dx=\int\frac{2}{2}\cdot \ln(2x)\ dx=\frac{1}{2}\int 2\ln (2x)$

Ahora sí que podemos utilizar la fórmula de la integral del logaritmo neperiano:

$\displaystyle\int\ln(u)\cdot u' \ dx=u\cdot \ln(u)-u+C$

De modo que la integración del logaritmo neperiano queda de la siguiente manera:

$\displaystyle\frac{1}{2}\int 2\ln (2x)=\frac{1}{2}\bigl(2x\cdot \ln(2x)-2x\bigr)+C=x\ln(2x)-1+C$

➤ Ver: Función logaritmo

Ejercicios resueltos de integrales de logaritmos neperianos

Resuelve las siguientes integrales de logaritmos neperianos de funciones:

$\text{A) }\displaystyle\int\ln(5x)\ dx$

$\text{B) }\displaystyle\int 8\ln(9x-4)\ dx$

$\text{C) }\displaystyle\int e^x\ln (e^x)\ dx$

$\text{D) }\displaystyle\int x\ln(7x^2)\ dx$

Ver solución

$\begin{aligned}\text{A) }&\displaystyle\int\ln(5x)\ dx=\int \frac{5}{5}\ln(5x)\ dx=\\[2ex]&=\frac{1}{5}\int 5\ln(5x)\ dx=\frac{5x\ln(5x)-5x}{5}+C=\\[2ex]&=x\ln(5x)-x+C\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{B) }&\displaystyle\int 8\ln(9x-4)\ dx=8\int \frac{9}{9}\ln(9x-4)\ dx=\\[2ex]&=\frac{8}{9}\int 9\ln(9x-4)\ dx=\frac{8\bigl((9x-4)\ln(9x-4)-(9x-4)\bigr)}{9}+C=\\[2ex]&=\frac{8\bigl((9x-4)\ln(9x-4)-9x+4\bigr)}{9}+C\end{aligned}$

$\text{C) }\displaystyle\int e^x\ln (e^x)\ dx=e^x\ln (e^x)-e^x+C$

$\begin{aligned}\text{F) }&\displaystyle\int x\ln(7x^2)\ dx=\frac{1}{14}\int 14x\ln(7x^2)\ dx=\\[2ex]&=\frac{7x^2\ln(7x^2)-7x^2}{14}+C=\frac{x^2\ln(7x^2)-x^2}{2}+C\end{aligned}$

➤ Ver: Integrales logarítmicas

Integral de logaritmo neperiano al cuadrado

La integral del logaritmo neperiano (o logaritmo natural) al cuadrado de x es igual a x por el logaritmo neperiano al cuadrado de x menos 2x por el logaritmo neperiano de x más 2x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\ln^2(x)\ dx=x\ln^2(x)-2x\ln(x)+2x+C$

La resolución de la integral del logaritmo neperiano al cuadrado es bastante más complicada que la integral del logaritmo neperiano sin potencia, para ver la demostración de la fórmula haz clic aquí:

➤ Ver: Integral del logaritmo neperiano al cuadrado

Fórmula de la integral del logaritmo neperiano

Ejemplo de la integral de un logaritmo neperiano

Ejercicios resueltos de integrales de logaritmos neperianos

Integral de logaritmo neperiano al cuadrado

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