▷ Integración por partes - Funciones matemáticas ✅

En este post te explicamos qué es el método de la integración por partes. Así pues, encontrarás cómo se resuelve una integral con el método de la integración por partes y, además, podrás ver varios ejemplos de integrales resueltas por partes.

Índice

Fórmula de la integración por partes

La integración por partes es un método que sirve para resolver integrales de un producto de funciones. En concreto, la fórmula de la integración por partes es ∫u·dv=u·v-∫v·du.

Por lo tanto, para resolver una integral por partes primero tenemos que identificar del producto de funciones cuál es u y cuál es dv, luego calculamos du derivando u y calculamos v integrando y, por último, aplicamos la fórmula de la integración por partes para hallar el resultado de la integral.

Ver demostración de la fórmula

Para demostrar la fórmula de la integración por partes utilizaremos la fórmula de la derivada de un producto:

$\displaystyle\left[u(x)\cdot v(x)\right]'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

Integramos en los dos lados de la ecuación:

$\displaystyle\int \left[u(x)\cdot v(x)\right]' \ dx=\int \left( u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\right) \ dx$

$\displaystyle u(x)\cdot v(x)=\int u'(x)\cdot v(x) \ dx+\int u(x)\cdot v'(x) \ dx$

Reordenamos los términos de la ecuación:

$\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x) \ dx= u(x)\cdot v(x)-\int u'(x)\cdot v(x) \ dx$

La expresión anterior es equivalente a la fórmula que sirve para integrar por partes, pero normalmente se escribe de la siguiente forma para facilitar su memorización:

$\displaystyle\int u\cdot dv= u\cdot v-\int v\cdot du$

Truco: para memorizar la fórmula de la integración por partes puedes utilizar la siguiente regla mnemotécnica. Las iniciales de la siguiente frase coinciden con las letras que aparecen en la fórmula.

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UDV = UV – FVDU

Ejemplo de una integral resuelta por partes

Para que puedas ver cómo se calcula una integral por el método de integración por partes, a continuación te dejamos un ejemplo resuelto paso a paso de una integral de este tipo.

$\displaystyle\int x\cdot \text{cos}(x)\ dx$

En este caso tenemos un producto de x por la función coseno, por lo que para resolver esta integral tenemos que aplicar la fórmula de la integración por partes:

$\displaystyle\int u\cdot dv= u\cdot v-\int v\cdot du$

De modo que primero tenemos que escoger qué función será u y qué función será dv. En este caso elegimos que la x sea el término u y el coseno sea el término dv.

$\begin{array}{c}u=x\\[2ex]dv=\text{cos}(x)\end{array}$

Así pues, tenemos que derivar x y, por otro lado, tenemos que integrar el coseno. Por lo tanto, todos los términos de la fórmula de la integral por partes son los siguientes:

$\begin{array}{c}u=x \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=1\\[2ex]dv=\text{cos}(x)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=\text{sen}(x)\end{array}$

Ahora sustituimos los valores en la fórmula de la integración por partes:

$\displaystyle\int u\cdot dv= u\cdot v-\int v\cdot du$

$\displaystyle\int x\cdot \text{cos}(x) \ dx= x\cdot \text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)\cdot 1$

De este modo solo nos queda calcular la integral del seno para hallar el resultado de la integral:

$\displaystyle\int x\ \text{cos}(x)\ dx= x\ \text{sen}(x)-\bigl(-\text{cos}(x)\bigr)+C$

$\displaystyle\int x\ \text{cos}(x)\ dx= x\ \text{sen}(x)+\text{cos}(x)+C$

Truco: La regla ALPES puede ayudarte a determinar los términos de la fórmula de la integración por partes. En concreto, la regla ALPES dice que el término u debe ser el primero de los que aparezca en la siguiente lista:

A: funciones Arco (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, etc.).
L: Logaritmos.
P: Potencias (de exponente numérico).
E: Exponenciales
S: Seno y coseno.

Siguiendo el orden de la lista, la función que aparezca más tarde debe ser el término dv de la fórmula de la integral por partes.

➤ Ver: Método de integración por sustitución

Ejercicios resueltos de la integración por partes

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente integral utilizando el método de la integración por partes:

$\displaystyle\int x\ln(x)\ dx$

Ver solución

Para aplicar la fórmula de la integración por partes, escogemos el logaritmo natural como u y la x como dv:

$\begin{array}{c}u=\ln(x) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=\cfrac{1}{x}\\[3ex]dv=x \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=\cfrac{x^2}{2}\end{array}$

De modo que la integral después de aplicar la fórmula de la integración por partes queda de la siguiente manera:

$\displaystyle\int x\ln(x)\ dx=\ln(x)\cdot \cfrac{x^2}{2}-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\ dx$

Simplificamos la expresión obtenida:

$\displaystyle\int x\ln(x)\ dx=\cfrac{x^2\ln(x)}{2}-\int \frac{x}{2}\ dx$

Y finalmente integramos la función racional para solucionar la integral:

$\displaystyle\int x\ln(x)\ dx=\cfrac{x^2\ln(x)}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}+C$

$\displaystyle\int x\ln(x)\ dx=\cfrac{x^2\ln(x)}{2}-\frac{x^2}{4}+C$

Ejercicio 2

Resuelve la siguiente integral por partes:

$\displaystyle\int x\cdot e^{-x}\ dx$

Ver solución

Siguiendo la regla ALPES, elegimos la x como u y la función exponencial como dv para aplicar la fórmula de la integración por partes:

$\begin{array}{c}u=x \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=1\\[3ex]dv=e^{-x} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=-e^{-x}\end{array}$

Así pues, la integral resuelta por partes es:

$\displaystyle\int x\cdot e^{-x}\ dx=x\cdot \left(-e^{-x}\right)-\int \left(-e^{-x}\right)\cdot 1\ dx$

$\displaystyle\int x\cdot e^{-x}\ dx=-x\cdot e^{-x}-\int -e^{-x}\ dx$

$\displaystyle\int x\cdot e^{-x}\ dx=-x\cdot e^{-x}-e^{-x}+C$

Ejercicio 3

Calcula la siguiente integral mediante la integración por partes:

$\displaystyle\int x^3e^{x^2}\ dx$

Ver solución

Antes de aplicar la fórmula de la integración por partes, separaremos la función potencial para luego poder resolver la integral:

$\displaystyle\int x^3e^{x^2}\ dx=\int x^2\cdot x\cdot e^{x^2}\ dx$

Entonces, para solucionar esta integral con el método de la integración por partes elegimos x al cuadrado como el parámetro u de la fórmula y el resto como el parámetro dv:

$\begin{array}{c}u=x^2 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=2x\\[3ex]dv=xe^{x^2} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=\cfrac{e^{x^2}}{2}\end{array}$

Ahora podemos resolver la integral utilizando la fórmula de la integración por partes:

$\displaystyle\int x^3e^{x^2}\ dx=x^2\cdot \frac{e^{x^2}}{2}-\int x \cdot e^{x^2}\ dx$

$\displaystyle\int x^3e^{x^2}\ dx=\frac{x^2e^{x^2}}{2}-\frac{e^{x^2}}{2}+C$

$\displaystyle\int x^3e^{x^2}\ dx=\frac{x^2e^{x^2}-e^{x^2}}{2}+C$

Ejercicio 4

Calcula la siguiente integral mediante la integración por partes:

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx$

Ver solución

Para hallar el resultado de esta integral tenemos que emplear el método de la integración por partes, así pues, utilizamos la regla ALPES para determinar los parámetros de la fórmula:

$\begin{array}{c}u=x^2 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=2x\\[3ex]dv=\text{sen}(3x) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=-\cfrac{1}{3}\cdot \text{cos}(3x)\end{array}$

Intentamos resolver la integral aplicando la fórmula de la integración por partes:

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx=x^2\cdot \left(-\frac{1}{3}\cdot \text{cos}(3x)\right)-\int 2x \cdot \left(-\frac{1}{3}\cdot \text{cos}(3x)\right)\ dx$

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx=-\frac{x^2\text{cos}(3x)}{3}+\frac{2}{3}\int x \cdot \text{cos}(3x)\ dx$

Sin embargo, volvemos a obtener una integral que debemos resolver por partes, por lo tanto, tenemos que volver aplicar la fórmula de la integración por partes:

$\begin{array}{c}u=x \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=1\\[3ex]dv=\text{cos}(3x) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=\cfrac{1}{3}\cdot \text{sen}(3x)\end{array}$

De modo que al emplear la fórmula de la integración por partes por segunda vez la ecuación queda de la siguiente manera:

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx=-\frac{x^2\text{cos}(3x)}{3}+\frac{2}{3}\int 2x \cdot \text{cos}(3x)\ dx$

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx=-\frac{x^2\text{cos}(3x)}{3}+\frac{2}{3}\left(x\cdot\frac{1}{3}\cdot \text{sen}(3x)-\int \frac{1}{3}\cdot \text{sen}(3x)\cdot 1 \ dx\right)$

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx=-\frac{x^2\text{cos}(3x)}{3}+\frac{2x\cdot\text{sen}(3x)}{9}-\frac{2}{3}\int \frac{1}{3}\cdot \text{sen}(3x) \ dx$

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx=-\frac{x^2\text{cos}(3x)}{3}+\frac{2x\cdot\text{sen}(3x)}{9}-\frac{2}{9}\int\text{sen}(3x) \ dx$

Ahora solo nos queda resolver la última integral, que es más fácil que las anteriores:

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx=-\frac{x^2\text{cos}(3x)}{3}+\frac{2x\cdot\text{sen}(3x)}{9}-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{3}\int 3\cdot\text{sen}(3x) \ dx$

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx=-\frac{x^2\text{cos}(3x)}{3}+\frac{2x\cdot\text{sen}(3x)}{9}-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{3}\cdot \bigl(- \text{cos}(3x) \bigr)+C$

$\displaystyle\int x^2\text{sen}(3x)\ dx=-\frac{x^2\text{cos}(3x)}{3}+\frac{2x\cdot\text{sen}(3x)}{9}+\frac{2\text{cos}(3x)}{27}+C$

Ejercicio 5

Calcula la siguiente integral mediante la integración por partes:

$\displaystyle\int e^x\text{sen}(x)\ dx$

Ver solución

Para solucionar la integral de este producto de funciones utilizaremos el método de integración por partes:

$\begin{array}{c}u=e^x \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=e^x\\[3ex]dv=\text{sen}(x) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=-\text{cos}(x)\end{array}$

Aplicamos la fórmula de la integración por partes:

$\displaystyle\int e^x\text{sen}(x)\ dx=e^x\cdot \bigl(-\text{cos}(x)\bigr)-\int \bigl(-\text{cos}(x)\bigr) \cdot e^x\ dx$

$\displaystyle\int e^x\text{sen}(x)\ dx=-e^x\cdot \text{cos}(x)+\int\text{cos}(x)e^x\ dx$

Volvemos a utilizar el método de la integración por partes:

$\begin{array}{c}u=e^x \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=e^x\\[3ex]dv=\text{cos}(x) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=\text{sen}(x)\end{array}$

De modo que la ecuación tras aplicar el método de integración por partes queda:

$\displaystyle\int e^x\text{sen}(x)\ dx=-e^x\cdot \text{cos}(x)+e^x\cdot \text{sen}(x)-\int\text{sen}(x)\cdot e^x\ dx$

$\displaystyle\int e^x\text{sen}(x)\ dx=-e^x\text{cos}(x)+e^x\text{sen}(x)-\int e^x\text{sen}(x)\ dx$

Si te fijas bien, las dos integrales que hay en la ecuación son idénticas. Por lo tanto, podemos cambiar de lado la integral de la derecha para hallar su resultado:

$\displaystyle\int e^x\text{sen}(x)\ dx+\int e^x\text{sen}(x)\ dx=-e^x\text{cos}(x)+e^x\text{sen}(x)$

$\displaystyle2\int e^x\text{sen}(x)\ dx=e^x\bigl(\text{sen}(x)-\text{cos}(x)\bigr)$

Finalmente, solo nos queda despejar la integral para encontrar su resultado:

$\displaystyle\int e^x\text{sen}(x)\ dx=\frac{e^x\bigl(\text{sen}(x)-\text{cos}(x)\bigr)}{2}+C$

Fórmula de la integración por partes

Ejemplo de una integral resuelta por partes

Ejercicios resueltos de la integración por partes

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

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