Integración por sustitución o cambio de variable

En este artículo te explicamos cómo resolver una integral con el método de integración por sustitución o cambio de variable. Así pues, encontrarás cuáles son los pasos para aplicar este método y, además, podrás practicar con varios ejemplos de integrales resueltas por el método de integración por sustitución o cambio de variable.

Método de integración por sustitución o cambio de variable

El método de integración por sustitución, también llamado método de integración por cambio de variable, es un procedimiento que sirve para resolver integrales complicadas.

En concreto, el método de integración por sustitución consiste en cambiar una expresión por otra variable para facilitar el cálculo de la integral.

Los pasos para resolver una integral mediante el método de integración por sustitución o cambio de variable son:

  1. Escogemos la expresión algebraica de la integral que queremos sustituir y cual será el cambio de variable.

    2. u=g(x)

  2. Derivamos en los dos lados de la ecuación para calcular dx.

    3. du=g'(x)dx

  3. Hacemos el cambio de variable en la integral. Para ello, debemos sustituir la expresión algebraica que hemos escogido por u y, además, sustituir dx por la expresión calculada en el paso anterior.

    4. \displaystyle\int f(u)\ du

  4. Resolvemos la integral obtenida.
  5. Deshacemos el cambio de variable para obtener el resultado de la integral original.

    6. u \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ g(x)

➤ Ver: Regla de la cadena (derivadas)

Ejemplo de una integral resuelta por el método de integración por sustitución o cambio de variable

Para que puedas ver cómo se calcula una integral por el método de integración por sustitución (o cambio de variable), a continuación te dejamos un ejemplo resuelto paso a paso.

\displaystyle\int\text{sen}^4(x)\text{cos}(x)\ dx

Para resolver esta integral trigonométrica vamos a utilizar el método de integración por sustitución. En este caso, haremos que la nueva variable sea el seno de x:

u=\text{sen}(x)

Para poder terminar de hacer el cambio de variable, tenemos que hallar dx. Así que derivamos en los dos lados de la ecuación anterior y despejamos el diferencial dx:

du=\text{cos}(x)\ dx

dx=\cfrac{du}{\text{cos}(x)}

Ahora realizamos el cambio de variable sustituyendo las expresiones obtenidas en la integral:

\begin{array}{c}\displaystyle\int\text{sen}^4(x)\text{cos}(x)\ dx \\[3ex] \left\downarrow \begin{array}{c}u=\text{sen}(x)\\[2ex]dx=\cfrac{du}{\text{cos}(x)}\end{array}}\right. \\[7ex]\displaystyle \int u^4 \cdot \text{cos}(x)\cdot \frac{du}{\text{cos}(x)}\end{array}

Al hacer el cambio de variable, obtenemos un coseno en el numerador y otro coseno en el denominador por lo que podemos simplificar la integral:

\displaystyle \int u^4 \ du

De este modo podemos resolver fácilmente la integral aplicando la fórmula de las integrales de potencias:

\displaystyle \int u^4 \ du=\frac{u^5}{5}+C

Una vez hemos resuelto la integral, deshacemos el cambio de variable para hallar el resultado de la integral original:

\displaystyle \frac{u^5}{5}+C=\frac{\text{sen}^5(x)}{5}+C

Y de esta forma hemos conseguido solucionar la integral mediante el método de sustitución. Como puedes ver, este método de integración permite resolver integrales complicadas de manera más fácil. A continuación te dejamos varios ejercicios resueltos del método de integración por sustitución para que puedas practicar.

➤ Ver: Método de integración por partes

Ejercicios resueltos del método de integración por sustitución o cambio de variable

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente integral logarítmica por el método de sustitución:

\displaystyle\int\frac{1}{x\sqrt{1-\ln(x)}} \ dx

El cambio de variable que tenemos que hacer en esta integral para resolverla es el siguiente:

u=1-\ln(x)

\displaystyle du=-\frac{1}{x}\ dx

De modo que al hacer el cambio de variable la integral queda de la siguiente manera:

\displaystyle\int\frac{1}{x\sqrt{1-\ln(x)}}\ dx= \int -\frac{1}{\sqrt{u}}\ du

Resolvemos la integral de la raíz convirtiéndola primero a una potencia:

\displaystyle\int -\frac{1}{\sqrt{u}}\ du=-\int u^{-1/2}\ du = -\frac{u^{1/2}}{\frac{1}{2}}\ du = -2\sqrt{u}+C

Y, por último, deshacemos el cambio de variable:

\displaystyle -2\sqrt{u}+C=-2\sqrt{1-\ln(x)}+C

 

Ejercicio 2

Resuelve la siguiente integral racional por el método de sustitución:

\displaystyle\int\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}} \ dx

Para solucionar esta integral haremos el siguiente cambio de variable:

x=u^2

\displaystyle dx=2u\ du

Así que la integral con el cambio de variable es:

\displaystyle\int\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}} \ dx=\int\frac{2u}{(1+u^2)\sqrt{u^2}}\ du

Ahora podemos simplificar bastante la integral:

\displaystyle\int\frac{2u}{(1+u^2)\sqrt{u^2}}\ du=\int\frac{2u}{u+u^3}\ du=\int\frac{2}{1+u^2}\ du

Esta expresión corresponde a la integral del arcotangente:

\displaystyle\int\frac{2}{1+u^2}\ du=2\cdot\text{arctg}(u)+C

Deshacemos el cambio de variable y hallamos el resultado de la integral:

\displaystyle 2\cdot\text{arctg}(u)+C=2\cdot\text{arctg}\left(\sqrt{x}\right)

 

Ejercicio 3

Resuelve la siguiente integral de un cociente de funciones exponenciales:

\displaystyle\int\frac{5^{2x}}{1+5^{2x}} \ dx

El cambio de variable a aplicar para calcular la integral es:

u=5^{2x}

\displaystyle du=2\ln(5)\cdot 5^{2x}\ dx \ \longrightarrow \ 5^{2x} \ dx=\frac{du}{2\ln(5)}

La integral con el cambio de variable hecho es:

\displaystyle\int\frac{5^{2x}}{1+5^{2x}} \ dx=\int\frac{1}{1+u}\cdot \frac{du}{2\ln(5)} = \frac{1}{2\ln(5)}\int\frac{1}{1+u}\ du

La integral obtenida es bastante más fácil de resolver, pues es logarítmica:

\displaystyle\frac{1}{2\ln(5)}\int\frac{1}{1+u}\ du=\frac{1}{2\ln(5)}\cdot \ln(1+u)+C

Finalmente, solo nos queda deshacer el cambio de variable para determinar la solución:

\displaystyle \frac{1}{2\ln(5)}\cdot \ln(1+u)+C=\frac{\ln\left(1+5^{2x}\right)}{2\ln(5)}+C

 

Ejercicio 4

Resuelve la siguiente integral haciendo un cambio de variable:

\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt[3]{1+2x}} \ dx

Para resolver esta integral utilizaremos el método de sustitución con el siguiente cambio de variable:

u^3=1+2x \ \longrightarrow \ x=\cfrac{u^3-1}{2}

\displaystyle dx=\frac{3u^2 \ du}{2}

De modo que la integral con el cambio de variable es:

\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt[3]{1+2x}} \ dx=\int\left(\frac{u^3-1}{2}\right)^2\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{u^3}}\cdot \frac{3u^2}{2} \ du

Hacemos las operaciones para simplificar la integral:

\begin{aligned}&\displaystyle\int\frac{1}{4}\cdot (u^3-1)^2\cdot \frac{1}{u}\cdot \frac{3u^2}{2} \ du=\\[2ex]&=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{2}\int (u^6+1-2u^3)\cdot u \ du=\\[2ex]&= \frac{3}{8}\int (u^7+u-2u^4)\ du\end{aligned}

Resolvemos la integral del polinomio:

\begin{aligned}&\displaystyle \frac{3}{8}\int (u^7+u-2u^4)\ du=\\[2ex]&=\frac{3}{8}\cdot \left(\frac{u^8}{8}+\frac{u^2}{2}-\frac{2u^5}{5}\right)+C=\\[2ex]&=\frac{3u^2}{8}\cdot \left(\frac{u^6}{8}+\frac{1}{2}-\frac{2u^3}{5}\right)+C\end{aligned}

Y para terminar deshacemos el cambio de variable:

\begin{aligned}&\displaystyle\frac{3u^2}{8}\cdot \left(\frac{u^6}{8}+\frac{1}{2}-\frac{2u^3}{5}\right)+C=\\[3ex]&=\frac{3\sqrt[3]{(1+2x)^2}}{8}\cdot \left(\frac{(1+2x)^2}{8}+\frac{1}{2}-\frac{2(1+2x)}{5}\right)+C\end{aligned}

 

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