▷ Integral del logaritmo neperiano al cuadrado

En este artículo encontrarás cuál es la integral del logaritmo neperiano al cuadrado y, además, podrás ver la demostración de la fórmula de esta integral logarítmica.

Índice

Fórmula de la integral del logaritmo neperiano al cuadrado

La integral del logaritmo neperiano (o logaritmo natural) al cuadrado de x es igual a x por el logaritmo neperiano al cuadrado de x menos 2x por el logaritmo neperiano de x más 2x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\ln^2(x)\ dx=x\ln^2(x)-2x\ln(x)+2x+C$

Como puedes ver, el resultado de la integral del logaritmo neperiano elevado a la dos es bastante diferente al resultado de la integral del logaritmo neperiano de x. Puedes ver cuál es la fórmula de la integral del logaritmo neperiano simple aquí:

➤ Ver: Integral del logaritmo neperiano

Demostración de la fórmula del la integral del logaritmo neperiano al cuadrado

En este apartado vamos a demostrar la fórmula anterior, de este modo podrás ver cómo se resuelve la integral del logaritmo neperiano (o logaritmo natural) al cuadrado de x.

$\displaystyle\ln^2(x)\ dx$

Para poder resolver esta integral logarítmica tenemos que usar la fórmula de las integrales por partes:

$\begin{array}{c}u=\ln^2(x) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ du=2\ln(x)\cdot \cfrac{1}{x}\\[3ex]dv=1\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ v=x\end{array}$

$\displaystyle\int \ln^2(x)\cdot 1 \ dx=\ln^2(x)\cdot x-\int x\cdot \left(2\ln(x)\cdot \frac{1}{x}\right)\ dx=$

Simplificamos la expresión anterior:

$\displaystyle\int \ln^2(x)\cdot x-\int x\cdot \left(2\ln(x)\cdot \frac{1}{x}\right)\ dx=x\ln^2(x)-2\int\ln(x)\ dx$

Resolvemos la integral del logaritmo natural aplicando su fórmula:

$\begin{array}{l}\displaystyle x\ln^2(x)-2\int\ln(x)\ dx=\\[4ex]=x\ln^2(x)-2\bigl(x\ln(x)-x\bigr)+C=\\[4ex]=x\ln^2(x)-2x\ln(x)-2x+C\end{array}$

Y de este modo llegamos a la fórmula de la integral del logaritmo natural al cuadrado de x:

$\displaystyle\int\ln^2(x)\ dx=x\ln^2(x)-2x\ln(x)+2x+C$

➤ Ver: Integrales logarítmicas

Integral de logaritmo neperiano al cuadrado

Fórmula de la integral del logaritmo neperiano al cuadrado

Demostración de la fórmula del la integral del logaritmo neperiano al cuadrado

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