▷ Integral de x

En este post encontrarás cuál es el resultado de la integral de x. Además, te explicamos cómo resolver integrales similares a la integral de x.

Índice

¿Cuál es la integral de x?

La integral de x es igual a x al cuadrado partido por dos más la constante de integración. Por lo tanto, la fórmula de la integral de x es ∫x dx = x²/2 + C.

$\displaystyle\int x \ dx=\cfrac{x^2}{2}+C$

Si te fijas, la derivada de la función de x al cuadrado dividido por dos da como resultado x, por lo tanto, la integral de x tiene que dar esta expresión. Así pues, la integral es correcta.

➤ Ver: Integral de 2x

Integral de x al cuadrado

Ahora que ya sabemos el resultado de la integral de x, vamos a ver cómo se resuelve la integral de x al cuadrado, pues el siguiente paso para aprender a integrar.

La integral de x al cuadrado es igual a x elevada al cubo partido por tres más la constante de integración.

$\displaystyle\int x^2 \ dx=\cfrac{x^3}{3}+C$

Fíjate que cada vez que integramos aumentamos en una unidad el grado de la función. De manera que al integrar x, que es de primer grado, obtenemos una función de segundo grado, asimismo, la integral de x al cuadrado da como resultado una función de tercer grado.

➤ Ver: Integral de x al cuadrado

Integral de una potencia de x

Si te fijas bien, las dos integrales que hemos visto arriba siguen un patrón. Por lo tanto, podemos deducir una fórmula que nos servirá para integrar cualquier potencia que tenga como base x.

En concreto, la integral de una potencia de x es igual a x elevado al exponente más uno dividido por el exponente más uno. De modo que la fórmula de la integral de una potencia de x es la siguiente:

$\displaystyle\int x^ndx=\cfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Por ejemplo, si queremos calcular la integral de x al cubo, simplemente tenemos que utilizar la fórmula anterior:

$\displaystyle\int x^3 dx=\cfrac{x^{3+1}}{3+1}+C=\cfrac{x^4}{4}+C$

➤ Ver: Integral de una potencia

Integral de raíz de x

La integral de la raíz de x también puede calcularse con la fórmula anterior, ya que las raíces se pueden transformar en potencias.

$\displaystyle\int\sqrt{x}\ dx=\int x^{\frac{1}{2}}\ dx$

Así pues, podemos resolver la integral anterior utilizando fórmula de la integral de una potencia de x:

$\displaystyle\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+C$

En definitiva, la integral de la raíz de x es igual a dos por la raíz cuadrada de x al cubo partido por tres más la constante de integración.

$\displaystyle\int\sqrt{x}\ dx=\frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C$

➤ Ver: Integral de raíz de x

Integral de uno partido por x

Acabamos de ver cómo se integra cualquier potencia que tiene como base x, no obstante, existe una excepción ya que esta fórmula no se puede aplicar cuando el exponente es menos 1.

La función uno partido por x es equivalente a x elevado a la menos 1, sin embargo, no se puede utilizar la fórmula de la integral de una potencia de x para integrar dicha función.

$x^{-1}=\cfrac{1}{x}$

Así pues, la integral de uno partido por x (1/x) es igual al logaritmo neperiano (o logaritmo natural) del valor absoluto de x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\frac{1}{x}\ dx=\ln |x| +C$

De modo que no puedes integrar la función 1/x como si fuese una potencia negativa, ya que entonces la integral daría un resultado erróneo. Para resolver la integral de uno dividido por x simplemente debes utilizar la fórmula de arriba.

$\displaystyle\color{red}\bm{\times}\color{black}\int\frac{1}{x}\ dx=\int x^{-1}= \frac{x^0}{0} \ \color{red}\bm{\times}$

➤ Ver: Integral de uno partido por x

¿Cuál es la integral de x?

Integral de x al cuadrado

Integral de una potencia de x

Integral de raíz de x

Integral de uno partido por x

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