▷ Integral de raíz de x

En este post te explicamos cómo resolver la integral de la raíz de x. Además, aparte de cuál es la integral de la raíz cuadrada de x, también podrás ver el resultado de la integral de uno dividido por la raíz de x.

Índice

¿Cuál es la integral de la raíz de x?

La integral de la raíz de x es igual a dos por la raíz de x al cubo partido por tres más la constante de integración.

$\displaystyle\int\sqrt{x}\ dx=\frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C$

A continuación vamos a demostrar la fórmula de la integral de la raíz de x.

$\displaystyle\int\sqrt{x}\ dx$

En primer lugar, pasamos la raíz a forma de potencia:

$\displaystyle\int x^{\frac{1}{2}}\ dx$

Al transformar el radical en una potencia, podemos aplicar la fórmula de las integrales de potencias:

$\displaystyle\int x^ndx=\cfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

➤ Ver: Cómo resolver la integral de una potencia

Así pues, tras aplicar la fórmula anterior la integral queda de la siguiente manera:

$\displaystyle\int x^{\frac{1}{2}}\ dx=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$

Efectuamos la suma de fracciones:

$\displaystyle\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}+C=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$

Simplificamos la fracción del denominador:

$\displaystyle\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+C$

Y finalmente pasamos la potencia a forma de radical:

$\displaystyle\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+C$

Por lo tanto, queda demostrada la fórmula de la integral de la raíz cuadrada de x.

$\displaystyle\int\sqrt{x}\ dx=\frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C$

Integral de uno partido por la raíz de x

Para resolver la integral de uno partido por la raíz cuadrada de x tenemos que seguir un procedimiento muy similar. A continuación vamos a ver cómo se resuelve esta integral fraccionaria.

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}\ dx$

Primero pasamos la expresión irracional a forma de potencia, en este caso es una potencia negativa porque la raíz está en el denominador de la fracción:

$\displaystyle\int x^{-\frac{1}{2}}\ dx$