▷ Integrales irracionales

En este post te explicamos cómo resolver integrales irracionales. Así pues, encontrarás qué son las integrales irracionales, los pasos que debes seguir para solucionarlas y, además, ejercicios resueltos paso a paso.

Las integrales irracionales son aquellas integrales de funciones que tienen la variable x en el argumento de algún radical, es decir, las integrales de funciones irracionales son aquellas en las que se deben integrar raíces que contienen la variable x.

➤ Ver: ¿Qué son las funciones irracionales?

Índice

Integrales irracionales simples

Para resolver integrales irracionales simples, es decir, funciones irracionales cuyos radicales están compuestos solamente por potencias de x, tenemos que hacer un cambio de variable.

En concreto, tenemos que sustituir x por t elevado al mínimo común múltiplo de los índices de las raíces.

$\displaystyle\int R\left(x, x^{p/q}, x^{r/s}, \ldots, x^{u/v}\right) \ dx$

$\displaystyle x=t^N \text{ donde } N=m.c.m.(q, s, \ldots, v)$

$\displaystyle dx=N\cdot t^{N-1}dt$

Para que puedas ver cómo se resuelven este tipo de integrales irracionales, a continuación vamos a solucionar el siguiente ejercicio:

$\displaystyle\int\frac{1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2}}{1+\sqrt[3]{x}}\ dx$

En ese caso todas las raíces solo tienen una x o una potencia de x en su argumento, por lo que podemos aplicar el cambio de variable que hemos visto arriba.

Además, los índices de las raíces son 2, 3 y 3, por lo que su mínimo común múltiplo es 6. En consecuencia, el cambio de variable que debemos hacer es t elevado a la 6.

$\displaystyle m.c.m.(2, 3, 3)=6 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{cases} x=t^{6}\\[2ex] dx=6t^{5}dt\end{cases}$

De modo que al aplicar el cambio de variable la integral queda de la siguiente manera:

$\begin{aligned}&\displaystyle\int\frac{1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2}}{1+\sqrt[3]{x}}\ dx=\\[2ex]&=\int\frac{1+\sqrt{t^6}+\sqrt[3]{\left(t^6\right)^2}}{1+\sqrt[3]{t^6}}\cdot 6t^5dt=\\[2ex]&=6\int \frac{1+t^3+\sqrt[3]{t^{12}}}{1+t^2}\cdot t^5dt=\\[2ex]&=6\int \frac{1+t^3+t^4}{1+t^2}\cdot t^5dt=\\[2ex]&=6\int\frac{t^5+t^8+t^9}{1+t^2}\ dt\end{aligned}$

➤ Ver: Método de integración por cambio de variable

Ahora tenemos que aplicar el mismo procedimiento que usamos para resolver integrales racionales, esto es, realizamos la división polinómica y transformamos la integral según el resultado de la división:

$\begin{aligned}&\displaystyle 6\int\frac{t^5+t^8+t^9}{1+t^2}\ dt =\\[2ex]&= 6\int\left(t^7+t^6-t^5-t^4+2t^3+t^2-2t-1\right)\ dt + 6 \int \frac{2t+1}{t^2+1}\ dt \end{aligned}$

➤ Ver: Cómo resolver integrales racionales

Las integrales que hemos obtenido son mucho más fáciles que la integral del principio, por lo que las podemos resolver directamente:

$\begin{aligned}&\displaystyle\frac{6t^8}{8}+\frac{6t^7}{7}-\frac{6t^6}{6}-\frac{6t^5}{5}+\frac{12t^4}{4}+\frac{6t^3}{3}-\frac{12t^2}{2}-6t \ +\\[2ex]&+6\ln|t^2+1|+6\text{arctg}(t)+C \end{aligned}$

Deshacemos el cambio de variable:

$t=\sqrt[6]{x}$

$\begin{aligned}&\displaystyle\frac{6\left(\sqrt[6]{x}\right)^8}{8}+\frac{6\left(\sqrt[6]{x}\right)^7}{7}-\frac{6\left(\sqrt[6]{x}\right)^6}{6}-\frac{6\left(\sqrt[6]{x}\right)^5}{5}+\frac{12\left(\sqrt[6]{x}\right)^4}{4}+\frac{6\left(\sqrt[6]{x}\right)^3}{3} \ -\\[2ex]& - \frac{12\left(\sqrt[6]{x}\right)^2}{2}-6\left(\sqrt[6]{x}\right) +6\ln|\left(\sqrt[6]{x}\right)^2+1|+6\text{arctg}\left(\sqrt[6]{x}\right)+C \end{aligned}$

Y finalmente simplificamos todo lo que podemos el resultado de la integral irracional:

$\begin{aligned}&\displaystyle\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}+\frac{6x^{\frac{7}{6}}}{7}-x-\frac{6x^{\frac{5}{6}}}{5}+3x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{2}}}-6x^{\frac{1}{3}}-6x^{\frac{1}{6}} \ +\\[2ex]&+6\ln|x^{\frac{1}{3}}+1|+6\text{arctg}\left(x^{\frac{1}{6}}\right)+C \end{aligned}$

Integrales irracionales lineales

Para resolver integrales irracionales lineales, es decir, con polinomios de primer grado bajo una raíz en el numerador o en el denominador de una fracción tenemos que hacer un cambio de variable.

En concreto, tenemos que sustituir el cociente de polinomios por t elevado al mínimo común múltiplo de los índices de las raíces.

$\displaystyle\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p/q}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{r/s}, \ldots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{u/v}\right) \ dx$

$\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}=t^N \text{ donde } N=m.c.m.(q, s, \ldots, v)$

Para que puedas ver cómo se hace, a continuación tienes un ejemplo resuelto paso a paso de este tipo de integrales irracionales.

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt[3]{(1-2x)^2}-\sqrt{1-2x}}\ dx$

En este caso tenemos dos radicales con el mismo argumento cuyos índices son 3 y 2. Por lo tanto, el cambio de variable que debemos hacer es el siguiente:

$\displaystyle m.c.m.(2, 3)=6 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{cases} 1-2x=t^{6}\\[2ex] dx=-3t^{5}dt\end{cases}$

De modo que la integral tras el cambio de variable queda de la siguiente manera:

$\displaystyle\int\frac{-3t^5}{\sqrt[3]{\left(t^6\right)^2}-\sqrt{t^6}}\ dt$

$\displaystyle\int\frac{-3t^5}{\sqrt[3]{t^{12}}-t^3}\ dt$

$\displaystyle -3\int\frac{t^5}{t^4-t^3}\ dt$

Simplificamos la fracción:

$\displaystyle -3\int\frac{t^2}{t-1}\ dt$

Igual que en la integral irracional anterior, el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador, por lo que tenemos que calcular la división polinómica para descomponer la integral racional en integrales parciales:

$\displaystyle -3\int (t+1)\ dt - 3 \int \frac{1}{t-1}\ dt$