▷ Integrales racionales

En este artículo te explicamos qué son las integrales racionales y cómo se resuelven. Así pues, encontrarás cuáles son los diferentes tipos de integrales racionales, cómo resolver cada tipo de integral racional y, además, ejercicios resueltos paso a paso.

Las integrales racionales son integrales de funciones que son cocientes de polinomios, es decir, son fracciones que tienen un polinomio en el numerador y otro polinomio en el denominador.

$\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx$

➤ Ver: ¿Qué son las funciones racionales?

Índice

Tipos de integrales racionales

Los tipos de integrales racionales son:

Integrales racionales con el grado del numerador mayor o igual que el grado del denominador.
Integrales racionales con el grado del numerador menor que el grado del denominador. Se distinguen tres casos:
- Integrales racionales con raíces reales simples.
- Integrales racionales con raíces reales múltiples.
- Integrales racionales con raíces complejas.

A continuación vamos a ver cómo se resuelve cada tipo de integral racional. No solo te explicaremos la teoría sobre los diferentes tipos de integrales racionales, sino que además podrás ver cómo se calculan con un ejemplo resuelto paso a paso.

Integrales racionales con el grado del numerador mayor o igual que el denominador

Para resolver una integral racional con el grado del numerador mayor que el grado del denominador tenemos que hacer la división polinómica y descomponer la integral en la suma de la integral del cociente más la integral del resto partido por el denominador. Y luego resolvemos cada integral por separado.

$P(x)=Q(x)\cdot C(x)+R(x)$

$\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx=\int C(x)\ dx+\int \frac{R(x)}{Q(x)}\ dx$

Para que puedas ver cómo se calculan este tipo de integrales racionales, a continuación tienes un ejercicio resuelto paso a paso:

$\displaystyle\int\frac{2x^2+4}{x+5}\ dx$

En este caso el polinomio del numerador es de segundo grado, mientras que el polinomio del denominador es de primer grado. Por lo tanto, tenemos que efectuar la división de polinomios y separar la integral racional en dos integrales según la siguiente fórmula:

$\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx=\int C(x)\ dx+\int \frac{R(x)}{Q(x)}\ dx$

Así pues, realizamos la división polinómica y descomponemos la integral racional:

$\displaystyle\int\frac{2x^2+4}{x+5}\ dx = \int (2x-10)\ dx + \int \frac{54}{x+5}\ dx$

➤ Nota: si no recuerdas cómo se dividen dos polinomios, puedes ver una explicación detallada del procedimiento junto con varios ejemplos resueltos paso a paso en nuestra página hermana www.polinomios.org.

Gracias a las propiedades de las integrales, podemos separar la integral de una resta en una resta de integrales:

$\displaystyle\int (2x-10)\ dx + \int \frac{54}{x+5}\ dx=\int 2x\ dx - \int 10 \ dx+ \int \frac{54}{x+5}\ dx$

De este modo hemos transformado la integral racional en tres integrales mucho más sencillas que podemos resolver directamente:

$\begin{aligned}&\displaystyle\int 2x\ dx - \int 10 \ dx+ \int \frac{54}{x+5}\ dx=\\[2ex]&=\frac{2x^2}{2}-10x+54\int \frac{1}{x+5}\ dx=\\[2ex]&=x^2-10x+54\ln|x+5|+C\end{aligned}$

Integrales racionales con raíces simples en el denominador

Para resolver una integral racional con el grado del numerador menor que el grado del denominador y, además, el denominador tiene raíces simples, tenemos que descomponer la integral racional en una suma de integrales de fracciones simples donde cada fracción tiene como denominador una raíz.

$\begin{aligned}\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)\dots (x-n)}\\[4ex]\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{A}{x-a}\ dx+\int\frac{B}{x-b}\ dx+\dots+\int\frac{N}{x-n}\ dx\end{aligned}$

A modo de ejemplo, vamos a solucionar la siguiente integral racional cuyo denominador está compuesto por raíces simples.

$\displaystyle\int\frac{x-2}{x^2+x}\ dx$

En este caso el polinomio del denominador es de segundo grado y el polinomio del numerador es de primer grado, por lo que debemos hallar las raíces del polinomio del denominador. Para ello, igualamos el polinomio a cero y resolvemos la ecuación resultante:

$x^2+x=0$

$x(x+1)=0$

$\begin{cases}x=0\\[2ex]x+1=0 \ \longrightarrow \ x=-1\end{cases}$

Las raíces del denominador son x=0 y x=-1, por lo tanto, el denominador se puede transformar en el producto de factores x(x+1) y, en consecuencia, podemos convertir la función racional en la siguiente suma de funciones fraccionarias:

$\displaystyle\frac{x-2}{x^2+x}=\frac{x-2}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$

Nota: fíjate que los denominadores de las nuevas fracciones están formados por x y la raíz cambiada de signo. Por ejemplo, el denominador correspondiente a la raíz x=-1 es x+1.

Ahora efectuamos la suma de las dos fracciones obtenidas:

$\displaystyle\frac{x-2}{x^2+x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$

$\displaystyle\frac{x-2}{x^2+x}=\frac{A(x+1)}{x(x+1)}+\frac{Bx}{x(x+1)}$

$\displaystyle\frac{x-2}{x^2+x}=\frac{A(x+1)+Bx}{x(x+1)}$

$\displaystyle\frac{x-2}{x^2+x}=\frac{Ax+A+Bx}{x(x+1)}$

Los dos denominadores de la expresión anterior son iguales, por lo que los numeradores también deben ser equivalentes. Así pues, podemos conseguir varias ecuaciones igualando los términos del mismo grado de los numeradores:

$\begin{array}{l}1=A+B \ \longleftarrow \ \text{Coeficientes de }x\\[3ex]-2=A \ \longleftarrow \ \text{T\'erminos independientes}\end{array}$

Solucionamos el sistema de ecuaciones obtenido:

$\left.\begin{array}{l}1=A+B\\[2ex]-2=A\end{array}\right\} \longrightarrow \begin{array}{c}A=-2\\[2ex]B=3\end{array}$

Entonces, la integral racional se puede transformar en la siguiente suma de integrales de fracciones simples:

$\displaystyle\int\frac{x-2}{x^2+x}\ dx=\int\frac{-2}{x}\ dx+\int\frac{3}{x+1}\ dx$

Por último, resolvemos las dos integrales simples que hemos obtenido al descomponer la integral racional:

$\displaystyle\int\frac{-2}{x}\ dx+\int\frac{3}{x+1}\ dx=-2\ln|x|+3\ln|x+1|+C$

➤ Ver: Integrales de logaritmos

Integrales racionales con raíces múltiples en el denominador

Las integrales racionales con raíces múltiples en el denominador se resuelven siguiendo el mismo procedimiento que las integrales racionales con raíces simples, pero hay algunas raíces que están repetidas y, por tanto, la descomposición de la integral racional se hace de la siguiente manera:

$\begin{aligned}\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{P(x)}{(x-a)^k}\\[4ex]\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{A}{x-a}\ dx+\int\frac{B}{(x-a)^2}\ dx+\dots+\int\frac{N}{(x-a)^k}\ dx\end{aligned}$

A continuación te dejamos una integral racional de este tipo resuelta paso a paso para que puedas ver cómo se resuelve.

$\displaystyle\int\frac{2x-4}{x^3+x^2-5x+3}\ dx$

La integral racional de este ejercicio tiene el grado del denominador mayor que el grado del numerador, por lo que tenemos que calcular las raíces del polinomio del denominador, las cuales son:

$x=1\quad x=1\quad x=-3$

➤ Nota: si tienes dudas sobre cómo se calculan las raíces de un polinomio, te explicamos cómo se hace en nuestra página hermana www.polinomios.org.

Como la raíz x=1 está repetida dos veces, la descomposición de la función racional se hace de la siguiente manera:

$\displaystyle\frac{2x-4}{x^3+x^2-5x+3}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+3}$

Ahora procedemos a hacer la suma de las fracciones:

$\displaystyle\frac{2x-4}{x^3+x^2-5x+3}=\frac{A(x-1)(x+3)+B(x+3)+C(x-1)^2}{(x-1)^2(x+3)}$

$\displaystyle\frac{2x-4}{x^3+x^2-5x+3}=\frac{Ax^2+2Ax-3A+Bx+3B+Cx^2-2Cx+C}{(x-1)^2(x+3)}$

$\displaystyle\frac{2x-4}{x^3+x^2-5x+3}=\frac{x^2(A+C)+x(2A+B-2C)-3A+3B+C}{(x-1)^2(x+3)}$

Así pues, igualando los coeficientes del mismo grado obtenemos tres ecuaciones:

$\begin{array}{c}0=A+C \ \longleftarrow \ \text{Coeficientes de }x^2\\[3ex]2=2A+B-2C \ \longleftarrow \ \text{Coeficientes de }x\\[3ex]-4=-3A+3B+C \ \longleftarrow \ \text{T\'erminos independientes}\end{array}$

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógintas:

$\left.\begin{array}{l}0=A+C\\[2ex]2=2A+B-2C\\[2ex]-4=-3A+3B+C\end{array}\right\} \longrightarrow \begin{array}{c}A=\cfrac{5}{8}\quad B=-\cfrac{1}{2}\quad C=\cfrac{-5}{8}\end{array}$

De modo que tras realizar la descomposición en fracciones parciales la integral racional queda de la siguiente manera:

$\displaystyle\int\frac{2x-4}{x^3+x^2-5x+3}\ dx= \int\frac{5}{8(x-1)}\ dx-\int\frac{1}{2(x-1)^2}\ dx-\int\frac{5}{8(x+3)}\ dx$

Finalmente, resolvemos cada una de las integrales obtenidas y así llegamos al resultado de la integral racional:

$\begin{aligned}&\displaystyle\int\frac{5}{8(x-1)}\ dx-\int\frac{1}{2(x-1)^2}\ dx-\int\frac{5}{8(x+3)}\ dx=\\[3ex]&=\frac{5}{8}\int\frac{1}{x-1}\ dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{(x-1)^2}\ dx-\frac{5}{8}\int\frac{1}{x+3}\ dx=\\[3ex]&=\frac{5\ln|x-1|}{8}-\frac{1(x-1)^{-1}}{2\cdot (-1)}-\frac{5\ln|x+3|}{8}+C=\\[3ex]&=\frac{5\ln|x-1|}{8}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{5\ln|x+3|}{8}+C\end{aligned}$

➤ Ver: Integrales resueltas por partes

Integrales racionales con raíces complejas en el denominador

Las integrales racionales con raíces complejas en el denominador se resuelven siguiendo el mismo procedimiento que las integrales racionales con raíces reales, no obstante, el numerador de la fracción parcial que corresponde a la raíz compleja es de primer grado:

$\begin{aligned}\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{P(x)}{(x^2+a)(x^2+c)\dots (x^2+n)}\\[4ex]\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{Ax+B}{x^2+a}\ dx+\int\frac{Cx+D}{x^2+c}\ dx+\dots+\int\frac{Nx+M}{x^2+n}\ dx\end{aligned}$

A continuación se procede a resolver una integral racional de este tipo para que así puedas ver cómo se solucionan.

$\displaystyle\int\frac{2x^2+3}{x^3+3x}\ dx$

El denominador es de tercer grado y, por otro lado, el numerado es de segundo grado. De modo que tenemos que calcular las raíces del denominador para luego descomponer la función racional en fracciones simples:

$x^3+3x=0$

$x(x^2+3)=0$

$\begin{cases}x=0\\[2ex]x^2+3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases}x=+\sqrt{3}i\\x=-\sqrt{3}i\end{cases}\end{cases}$

Como hemos obtenido dos raíces imaginarias, la descomposición de la función racional se hace de la siguiente manera:

$\displaystyle\frac{2x^2+3}{x^3+3x}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+3}$

Ahora intentamos sumar las fracciones obtenidas:

$\begin{aligned}&\displaystyle\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+3}=\\[2ex]&=\frac{A(x^2+3)+x(Bx+C)}{x^2+3}=\\[2ex]&=\frac{Ax^2+3A+Bx^2+Cx}{x^2+3}=\\[2ex]&=\frac{x^2(A+B)+Cx+3A}{x^2+3}\end{aligned}$

Así pues, podemos conseguir varias ecuaciones igualando los términos del mismo grado de los numeradores de la fracción original con la fracción obtenida:

$\displaystyle 2x^2+3=x^2(A+B)+Cx+3A$

$\begin{array}{l}2=A+B \ \longleftarrow \ \text{Coeficientes de }x^2\\[3ex]0=C\ \longleftarrow \ \text{Coeficientes de }x\\[3ex]3=3A \ \longleftarrow \ \text{T\'erminos independientes}\end{array}$

Solucionamos el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas obtenido:

$\left.\begin{array}{l}2=A+B\\[2ex]0=C\\[2ex]3=3A+C \end{array}\right\} \longrightarrow \begin{array}{c}A=1\\[2ex]B=1\\[2ex]C=0\end{array}$

Por tanto, podemos transformar la integral racional del ejercicio en la siguiente suma de integrales:

$\displaystyle\int\frac{2x^2+3}{x^3+3x}\ dx=\int\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{1x+0}{x^2+3}\ dx$

De este modo solo nos queda resolver las dos integrales obtenidas:

$\begin{aligned}&\displaystyle\int\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{x}{x^2+3}\ dx =\\[3ex]&=\int\frac{1}{x}\ dx+\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+3}\ dx=\\[3ex]&=\ln|x|+\frac{\ln|x^2+3|}{2}+C\end{aligned}$

➤ Ver: Integración por cambio de variable

Tipos de integrales racionales

Integrales racionales con el grado del numerador mayor o igual que el denominador

Integrales racionales con raíces simples en el denominador

Integrales racionales con raíces múltiples en el denominador

Integrales racionales con raíces complejas en el denominador

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