▷ Derivada de x al cuadrado (x²)

En este post encontrarás cuál es la derivada de x al cuadrado y, además, te explicamos cómo se deriva esta función paso a paso.

Índice

¿Cuál es la derivada de x al cuadrado?

A continuación vamos a ver cómo se calcula la derivada de x al cuadrado (x²).

$f(x)=x^2$

La función x al cuadrado es una función de segundo grado, por lo tanto, para derivarla tenemos que usar la fórmula de la derivada de una potencia:

$f(x)=x^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot x^{k-1}$

Así pues, para derivar la función x al cuadrado tenemos que pasar el exponente adelante multiplicando y, además, tenemos que restar una unidad al exponente:

$f(x)=x^2 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=2\cdot x^{2-1}=2x$

La derivada de x al cuadrado (x²) es igual a dos multiplicado por x (2x).

$f(x)=x^2 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=2x$

➤ Ver: Derivada de x al cubo

Demostración de la fórmula de la derivada de x al cuadrado

A continuación vamos a derivar la función x al cuadrado utilizando la definición formal de la derivada en lugar de la fórmula de la derivada de una potencia, de este modo verás que llegamos al mismo resultado.

Utilizando la definición de la derivada, la derivada de x al cuadrado se calcula de la siguiente manera:

$f(x)=x^2$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

Ahora simplificamos la fracción:

$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{x^2+h^2+2\cdot x \cdot h-x^2}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h^2+2\cdot x \cdot h}{h}=\lim_{h \to 0}h+2x$

Y finalmente resolvemos el límite:

$\displaystyle\lim_{h \to 0}h+2x=0+2x=2x$

➤ Ver: Límites de funciones

El resultado del límite es la función 2x, por lo tanto, la derivada de la función x al cuadrado es 2x. Como puedes comprobar, el resultado coincide con la expresión obtenida en el apartado anterior en el cual hemos hallado la derivada de x al cuadrado aplicando la fórmula de la derivada de una potencia.

$f(x)=x^2 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=2x$

➤ Ver: Integral de x al cuadrado

¿Cuál es la derivada de x al cuadrado?

Demostración de la fórmula de la derivada de x al cuadrado

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