▷ Derivada de x al cubo (x³)

En este post encontrarás cómo se resuelve la derivada de la función x al cubo y, por tanto, cuál es el resultado de la derivada de x elevada al cubo.

Índice

¿Cuál es la derivada de x al cubo?

A continuación se procede a calcular la derivada de la función x elevada a la tres (x³), así podrás ver cómo se resuelve esta función potencial.

$f(x)=x^3$

La función x al cubo es una función cúbica, por lo tanto, para hacer su derivación tenemos que usar la fórmula de la derivada de una función potencial, que es la siguiente:

$f(x)=x^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot x^{k-1}$

De modo que para hallar la derivada de x al cubo tenemos que pasar el exponente delante y, además, restar una unidad al exponente:

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

La derivada de x al cubo (x³) es igual a tres por x al cuadrado (3x²).

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3x^2$

Demostración de la fórmula de la derivada de x al cubo

Para demostrarte que el resultado de la derivada calculado en el apartado de arriba es correcto, a continuación derivaremos la misma función pero utilizando la definición formal de la derivada en lugar de una fórmula concreta. De este modo podrás comprobar que se llega al mismo resultado con ambos métodos.

Así pues, aplicamos la definición de la derivada a la función de x al cubo:

$f(x)=x^3$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$

Resolvemos el binomio al cubo:

$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}= \lim_{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$

Simplificamos la fracción:

$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=\lim_{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)$

Y, por último, resolvemos el límite obtenido:

$\displaystyle\lim_{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2+3x\cdot h+0^2=3x^2$

➤ Ver: Cómo resolver el límite de una función

Aplicando la definición de la derivada obtenemos que el resultado de derivar x al cubo es tres x al cuadrado, que es el mismo resultado que hemos conseguido arriba utilizando la fórmula de la derivada de una potencia. Por lo tanto, se confirma el resultado de la derivada.

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3x^2$

➤ Ver: Derivada de x al cuadrado

¿Cuál es la derivada de x al cubo?

Demostración de la fórmula de la derivada de x al cubo

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