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Límite de una función

Aquí encontrarás qué son los límites de funciones y cómo se calculan todos los tipos de límites. Y no solo verás qué significa el límite de una función, sino que también te explicamos para qué se usan. Además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de límites de funciones.

¿Qué es el límite de una función?

En matemáticas, el límite de una función en un punto es el valor al cual se aproxima la función cuando x se acerca a ese punto.

El límite de la función f(x) en el punto x=a se representa utilizando la siguiente notación:

limites de funciones

La expresión anterior significa que el límite de la función f(x) cuando x tiende a a es igual a b.

Para acabar de entender qué significa el límite de una función, vamos a hallar el siguiente límite:

\displaystyle\lim_{x\to 2}(x^2-4x+5)= \ \color{red}\bm{?}

Para ver a qué valor se aproxima la función cuando x tiende a 2, podemos ir calculando imágenes de la función de puntos cada vez más cerca de x=2:

limite de una funcion en un punto por la izquierda
limite de una funcion en un punto por la derecha

Como puedes ver en las dos tablas anteriores, a medida que vamos tomando valores más próximos a x=2, la función se va acercando a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 2 es 1.

\displaystyle\lim_{x\to 2}(x^2-4x+5)= \color{red}\bm{1}

A continuación puedes ver la función representada gráficamente. Como puedes comprobar, la función se acerca a 1 cuando x se aproxima a 2.

limite de una funcion

Fíjate en la gráfica que la función se acerca al mismo valor independientemente de si nos acercamos por la izquierda o por la derecha. Más abajo profundizaremos más sobre este concepto de los límites.

Cómo calcular el límite de una función

Para calcular el límite de una función en un punto simplemente tenemos que sustituir el valor de ese punto en la función.

Por ejemplo, si queremos resolver el límite cuando x tiende a 3 de la siguiente función, debemos sustituir las x de la función por 3:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to \color{blue}\bm{3}\color{black}} \left(x^2+5x-7\right)=\\[3ex]=\color{blue}\bm{3}\color{black}^2+5\cdot \color{blue}\bm{3}\color{black}-7=\\[3ex]=9+15-7=17\end{array}

Más ejemplos de cálculos de límites de funciones:

  • \displaystyle \lim_{x \to 1} \left(4x-1 \right) = 4\cdot 1- 1 =\bm{3}
  • \displaystyle \lim_{x \to -2} \left(x^2-3x +1\right) =(-2)^2-3(-2) + 1=\bm{11}
  • \displaystyle \lim_{x \to 3} \cfrac{2x}{x-2} = \cfrac{2\cdot 3}{3-2}= \cfrac{6}{1} =\bm{6}
  • \displaystyle \lim_{x \to 0} e^x = e^0 =\bm{1}
  • \displaystyle \lim_{x \to -1} \cfrac{x+1}{x-1} = \cfrac{-1+1}{-1-1}= \cfrac{0}{-2} =\bm{0}

Límites laterales de una función

Una vez hemos visto la definición de límite de una función, vamos a analizar el concepto de límites laterales. Existen dos tipos de límites laterales: el límite lateral por la izquierda y el límite lateral por la derecha.

El límite lateral de la función por la izquierda se expresa con un signo menos en el punto donde se analiza el límite y, por otro lado, el límite lateral por la derecha se indica con el signo más.

Límite lateral por la izquierda

\displaystyle\lim_{x\to a^{\color{orange}\bm{-}\color{black}}}f(x)

Límite lateral por la derecha

\displaystyle\lim_{x\to a^{\color{orange}\bm{+}\color{black}}}f(x)

Fíjate en el siguiente ejemplo para entender mejor el significado de los límites laterales:

limites laterales

Como puedes ver en la representación gráfica de esta función definida a trozos, los límites laterales dependen del lado en el que se calculen.

En este caso, la función tiende a 3 cuando x tiende a 2 por la izquierda, ya que la función toma valores cada vez más próximos a 3 cuando x se aproxima a x=2 por su izquierda.

En cambio, el límite lateral de la función en x=2 por la derecha vale 6. Porque si nos acercamos al punto x=2 desde su derecha, la función va tomando valores cada vez más cercanos a f(x)=6.

Límites laterales iguales

Acabamos de ver un ejemplo en el que los límites laterales de una función son distintos, pero… ¿qué pasa si los límites laterales son iguales?

Si los dos límites laterales de una función en un punto existen y son iguales, existe el límite de la función en dicho punto y el resultado del límite es el valor de los límites laterales.

Es decir, para que exista el límite de una función en un punto, se debe cumplir la siguiente condición:

\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L \ \iff \ \lim_{x\to a}f(x)=L

Por lo tanto, si los límites laterales de una función en un punto son diferentes, el límite de la función en ese punto no existe.

Vamos a resolver un ejemplo para acabar de comprender el concepto de límites laterales:

Los límites laterales en el punto x=-2 de la función representada gráficamente coinciden, ya que el valor de la función tiende a 3 indistintamente de si nos aceramos a x=-2 por la izquierda o por la derecha. En consecuencia, el límite de la función en x=-2 es igual a 3.

\displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=\lim_{x\to -2^+}f(x)=3 \ \longrightarrow \ \lim_{x\to -2}f(x)=3

En cambio, en el punto x=4 los límites laterales son distintos, ya que por la izquierda la función se aproxima a f(x)=3 pero por la derecha la función se aproxima a f(x)=2. De modo que el límite de la función en este punto no existe.

\displaystyle\lim_{x\to 4^-}f(x)=3 \neq \lim_{x\to 4^+}f(x)=2 \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ \lim_{x\to 4}f(x)

Acabamos de ver cómo se determina el límite lateral de una función a partir de una gráfica, sin embargo, calcular un límite lateral de forma numérica es más complicado. Por eso te recomendamos que veas cómo se hace el cálculo de límites laterales

Límite de una función definida a trozos

El cálculo del límite de una función definida a trozos en un punto depende de si ese punto es el punto de ruptura o no:

  • Si se quiere calcular el límite de una función a trozos en un punto que no es el de ruptura, se hace el cálculo del límite en el trozo de la función que corresponde a ese punto.
  • Si se quiere calcular el límite de una función a trozos en el punto de ruptura, se deben calcular los límites laterales en el punto de ruptura:
    • Si los dos límites laterales coinciden con el mismo valor, ese es el valor del límite de la función en el punto de ruptura.
    • Si los dos límites laterales no coinciden, entonces el límite de la función en el punto de ruptura no existe.

Veamos un ejemplo para entender mejor cómo se calcula el límite de una función definida a trozos:

  • Calcula los límites en los puntos x=1 y x=3 de la siguiente función definida a trozos:

\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x+3 &  \text{si} &  x<3 \\[2ex] 2x & \text{si} & x\ge 3 \end{array} \right.

Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 1, tenemos que usar la primera función, ya que x=1 pertenece al intervalo x<3. Por tanto:

\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \left(x+3 \right)=1+3 =\bm{4}

Así que el límite de la función cuando x tiende a 1 es 4.

En cambio, x=3 es el punto de ruptura de la función. Porque en ese punto la función cambia de tramo.

Entonces, como x=3 es el punto de ruptura de la función, para hallar el límite de la función cuando x tiende a 3 debemos calcular sus límites laterales :

\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3} \left(x +3\right)=3+3= \bm{6}

\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x)= \lim_{x \to 3} 2x = 2\cdot3= \bm{6}

De modo que el límite de f(x) cuando x tiende a 3 por la izquierda es 6. Y el límite de f(x) cuando x tiende a 3 por la derecha también es 6. Por tanto, como los dos límites laterales son iguales, el límite de la función cuando x tiende a 3 es 6:

\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = 6 \quad \bm{\longrightarrow} \quad \lim_{x \to 3} f(x) = \bm{6}


Ahora veremos un ejemplo de cuando los límites laterales en el punto de ruptura no coinciden:

  • Calcula el límite cuando x tiende a 4 de la siguiente función definida a trozos:

\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -x-1 &  \text{si} &  x\le4 \\[2ex] 2x^2 & \text{si} & x>4 \end{array} \right.

x=4 es el punto de ruptura de la función, ya que en ese punto la función cambia de tramo. Por tanto, debemos calcular los dos límites laterales de la función en ese punto:

\displaystyle \lim_{x \to 4^{-}} f(x) = \lim_{x \to 4}} \left(-x -1\right)=-4-1= \bm{-5}

\displaystyle \lim_{x \to 4^{+}} f(x)= \lim_{x \to 4}} 2x^2 = 2\cdot 4^2=\bm{32}

De modo que el límite de f(x) cuando x tiende a 4 por la izquierda es -5. Y el límite de f(x) cuando x tiende a 5 por la derecha es 32. Por tanto, como los dos límites laterales no coinciden, el límite de la función cuando x tiende a 4 no existe:

\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) \neq \lim_{x \to 4^+} f(x)  \quad \bm{\longrightarrow} \quad  \cancel{\exists} \lim_{x \to 4} f(x)

Límite de una función en el infinito

El límite de una función cuando x tiende a infinito, ya sea positivo o negativo, puede ser un valor real, más infinito, menos infinito o no existir.

limites al infinito

Como puedes ver en el primer gráfico, la función representada tiende al valor real k al infinito, porque se va acercando a k a medida que x va creciendo. La función de arriba a la derecha tiende al más infinito cuando x tiende a infinito, ya que crece indefinidamente al aumentar de valor la x. En cambio, la gráfica de abajo a la izquierda decrece sin parar y por eso tiende a menos infinito. Finalmente, la última función es periódica y no tiende a ningún valor, por lo tanto, no existe el límite en el infinito en este caso.

Resolver este tipo de límites no es nada fácil, ya que se debe aplicar un procedimiento previo. E, incluso, dependiendo de cómo sea el límite en el infinito, este procedimiento varia. Para ver cómo se resuelven los límites en el infinito haz click en el siguiente enlace:

Ver: cómo resolver límites al infinito

Límites indeterminados

Las indeterminaciones, también llamadas formas indeterminadas, son expresiones matemáticas que aparecen en el cálculo de límites de funciones cuyo resultado no está definido.

Los diferentes tipos de indeterminaciones son las siguientes:

  • Indeterminación infinito menos infinito (∞-∞)
  • Indeterminación número entre cero (k/∞)
  • Indeterminación cero entre cero (0/0)
  • Indeterminación infinito entre infinito (∞/∞)
  • Indeterminación 1 elevado a infinito (1)
  • Indeterminación cero elevado a cero (00)
  • Indeterminación cero por infinito (0·∞)
  • Indeterminación cero elevado a infinito (0)
  • Indeterminación infinito elevado a cero (∞0)

Es decir, cuando en el cálculo de un límite obtenemos una indeterminación de las anteriores, no significa que el límite no exista o que no se pueda resolver, sino que tendremos que hacer alguna modificación a la función para poder hallar la solución del límite.

En el siguiente enlace puedes ver la explicación de cómo resolver todos los tipos de indeterminaciones:

Ver: cómo resolver las indeterminaciones

¿Para qué sirven los límites de funciones?

Si has llegado hasta aquí seguro que ya tienes claro el significado de límite de una función y cuándo existe el límite de una función. Pero… ¿para qué sirve el límite de una función?

Pues bien, la principal aplicación de los límites de funciones es estudiar la continuidad de una función, o en otras palabras, calcular el límite de una función en un punto sirve para averiguar si dicha función es continua en ese punto o no. Puedes ver cómo se hace en el siguiente enlace:

Ver: continuidad de una función

Por otra parte, los límites también sirven para calcular las asíntotas de una función, ya sea una asíntota vertical, una asíntota horizontal, o una asíntota oblicua. Si estás más interesad@, puedes buscar en nuestra web cómo se calculan las asíntotas de una función.

Ejercicios resueltos de límites de funciones

A continuación, hemos preparado 37 ejercicios resueltos paso a paso de todos los tipos de límites de funciones que hemos visto arriba. Puedes intentar hacerlos y luego comprobar la solución.

👇👇👇¡Recuerda que puedes preguntarnos cualquier duda que tengas sobre la resolución de los límites abajo en los comentarios!👇👇👇

Ejercicios de límites simples

Ejercicio 1

Resuelve los siguientes límites de funciones:

\text{A)}\ \displaystyle\lim_{x\to 1}(x+3)

\text{B)}\ \displaystyle\lim_{x\to 2}(-2x+5)

\text{C)}\ \displaystyle\lim_{x\to 0}(-7x-2)

\text{D)}\ \displaystyle\lim_{x\to -1}(2x^2-3x+6)

Para calcular los límites, sustituimos el valor de x en la función y hacemos las operaciones:

\text{A)}\ \displaystyle \lim_{x \to 1} (x+3)=1 + 3 = \bm{4}

\text{B)}\ \displaystyle \lim_{x \to 2} (-2x+5) = -2\cdot2+5= -4 + 5 = \bm{1}

\text{C)}\ \displaystyle \lim_{x \to 0} (-7x-2) = -7\cdot0-2 = \bm{-2}

\text{D)}\ \displaystyle \lim_{x \to -1} (2x^2-3x+6) = 2(-1)^2-3\cdot (-1)+6=\bm{11}

 

Ejercicio 2

Calcula los siguientes límites de funciones:

\text{A)}\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \cfrac{2x+1}{x^2-2}

\text{B)}\ \displaystyle\lim_{x \to 2} \sqrt{2x^2+6x-4}

\text{C)}\ \displaystyle\lim_{x \to -4} \left(\frac{3x}{2} +5 \right)

\text{D)}\ \displaystyle\lim_{x \to 0} e^{2x}

\text{E)}\ \displaystyle\lim_{x \to 0} \left( 1 + \cos x \right)

Aunque los cálculos en este ejercicio son un poco más complicados, estos límites también se pueden solucionar por sustitución:

\text{A)}\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \cfrac{2x+1}{x^2-2}= \cfrac{2\cdot 3+1}{3^2-2} = \cfrac{6+1}{9-2} = \cfrac{7}{7} = \bm{1}

\text{B)}\ \displaystyle\lim_{x \to 2} \sqrt{2x^2+6x-4}=\sqrt{2(2)^2+6(2)-4}=\sqrt{16} = \bm{4}

\text{C)}\ \displaystyle\lim_{x \to -4} \left(\frac{3x}{2} +5 \right)=\frac{3\cdot(-4)}{2} +5= -6 +5 = \bm{-1}

\text{D)}\ \displaystyle\lim_{x \to 0} e^{2x}  = e^{2\cdot 0} = e^{0}=\bm{1}

\text{E)}\ \displaystyle\lim_{x \to 0} \left( 1 + \cos x \right)=  1 + \cos 0 = 1 + 1 = \bm{2}

 

Ejercicios de límites laterales de funciones

Ejercicio 3

Halla los límites laterales de la siguiente función a trozos representada gráficamente en los puntos donde cambia su definición (x=-2 y x=4).

Los límites laterales no coinciden en el punto x=-2, por la izquierda la función se va aproximando a f(x)=5 y, en cambio, por la derecha la función es constante y vale 3.

\displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=5

\displaystyle\lim_{x\to -2^+}f(x)=3

Los límites laterales también son distintos cuando x tiende a 4. La función a trozos tiende a 3 por la izquierda, pero por la derecha tiende a -2.

\displaystyle\lim_{x\to 4^-}f(x)=3

\displaystyle\lim_{x\to 4^+}f(x)=-2

 

Ejercicio 4

A partir de la siguiente gráfica, determina si existe el límite cuando x tiende a 3 de la siguiente función definida a trozos y, en tal caso, cuál es su valor.

limites laterales de una funcion definida a trozos

En este problema, los límites laterales en el punto x=3 por la izquierda y por la derecha son idénticos, ya que la función se aproxima al mismo valor (f(x)=3) tanto si nos acercamos por su lado izquierdo como por su lado derecho:

\displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=3

\displaystyle\lim_{x\to 3^+}f(x)=3

Por tanto, según la definición matemática de límite, el límite de la función cuando x tiende a 3 es igual a 3, porque los dos límites laterales en ese mismo punto coinciden en ese valor:

\displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=\lim_{x\to 3^+}f(x)=3 \ \longrightarrow \ \lim_{x\to 3}f(x)=3

Aunque el límite de la función en x=3 sea 3, hay que tener en cuenta que la función en ese punto no vale 3, sino que f(3)=7. Como veremos más adelante, esto significa que la función no es continua en x=3, sino que tiene una discontinuidad evitable.

 

Ejercicio 5

Calcula los límites laterales de la siguiente función racional en el punto x=4.

f(x)=\cfrac{-2x+3}{x-4}

Para calcular el límite cuando x tiende a 4 por la izquierda tomamos un valor más pequeño que 4 pero muy cercano a él, por ejemplo 3,999:

\displaystyle\lim_{x\to 4^-}\frac{-2x+3}{x-4}=\frac{-2\cdot 3,999+3}{3,999-4}=\frac{-4,998}{-0}=+\infty

Así que el límite lateral cuando x tiende a 4 por la izquierda es más infinito.

Y para resolver el límite cuando x tiende a 4 por la derecha evaluamos la función en un valor más grande que 4 pero muy próximo a él, por ejemplo 4,001:

\displaystyle\lim_{x\to 4^+}\frac{-2x+3}{x-4}=\frac{-2\cdot 4,001+3}{4,001-4}=\frac{-5,002}{+0}=-\infty

Por lo que el límite lateral cuando x tiende a 4 por la derecha es más infinito.

 

Ejercicio 6

Calcula el límite, si existe, de la siguiente función definida a trozos en el punto x=2:

\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2-3 & \text{si} &  x \leq 2 \\[2ex]\displaystyle \frac{-3x+5}{x-3} & \text{si} & x>2 \end{array} \right.

En este caso, el enunciado del problema nos pide calcular el límite donde la función a trozos cambia de expresión, de manera que debemos hallar el límite lateral por la izquierda utilizando la primera expresión y el límite lateral por la derecha usando la segunda expresión.

\displaystyle\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x^2-3)=2^2-3=1

\displaystyle\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\frac{-3x+5}{x-3}=\frac{-3\cdot 2+5}{2-3}=\frac{-1}{-1}=1

El límite de la función en x=2 por la izquierda coincide con el límite de la función por la derecha, por tanto, el límite de la función existe y vale 1:

\displaystyle\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^+}f(x)=1 \ \longrightarrow \ \lim_{x\to 2}f(x)=1

 

Ejercicio 7

Calcula los límites de la siguiente función definida a trozos en los puntos x=-1, x=1 y x=2:

 \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^3+x^2+1 & \text{si}&x\le1\\[3ex] \displaystyle \frac{x^2-4}{-3x+4} & \text{si} & x>1 \end{array} \right.

a) Para calcular el límite de la función definida por segmentos cuando x tiende a -1 tenemos que usar la primera función, porque x=-1 pertenece al intervalo x≤1. Por tanto:

 \displaystyle \lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1}(x^3+x^2+1)= (-1)^3+(-1)^2+1=\bm{1}

b) x=1 es el punto de cambio de definición de la función definida a trozos, por lo tanto, calculamos los límites laterales:

 \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1}(x^3+x^2+1)=1^3+1^2+1=3

 \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim_{x \to 1} \cfrac{x^2-4}{-3x+4}=\cfrac{1^2-4}{-3\cdot1+4}=\cfrac{-3}{1}= -3

Como los dos límites laterales no dan el mismo resultado, el límite de la función cuando x tiende a 1 no existe:

 \displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)\ \bm{\longrightarrow} \  \cancel{\exists} \lim_{x \to 1} f(x)

c) Por último, para hallar el límite de la función cuando x tiende a 2, tenemos que usar la segunda función debido a que x=2 pertenece al intervalo x>1. Por tanto:

 \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \cfrac{x^2-4}{-3x+4} =\cfrac{2^2-4}{-3\cdot 2+4}= \cfrac{0}{-2}=\bm{0}

 

Ejercicios de límites de funciones en el infinito

Ejercicio 8

Encuentra los siguientes límites de la función representada la siguiente gráfica:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)

limites al infinito a partir de la representacion de una funcion

El límite de la función cuando x tiende a menos infinito y a más infinito dan 1:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1

Los límites laterales de la función por la izquierda y por la derecha en el punto x=-1 son más infinito y menos infinito respectivamente:

\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty

Finalmente, los límites laterales de la función cuando x tiende a 1 valen menos infinito y más infinito:

\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty

\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty

 

Ejercicio 9

Resuelve el límite cuando x tiende a más infinito de la siguiente función:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1)

Para resolver el límite en el infinito tenemos que sustituir x por infinito en el término de mayor grado del polinomio:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1) = (+\infty)^2= \bm{+\infty}

 

Ejercicio 10

Calcula el límite en el infinito de la siguiente función polinómica:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5)

Para resolver el límite al infinito sustituimos x por infinito en el término de mayor grado del polinomio y hacemos los cálculos:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5) = -3(+\infty)^2= -3\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}

 

Ejercicio 11

Resuelve el límite al menos infinito de la siguiente función polinómica:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4)

Para calcular el límite al infinito sustituimos x por menos infinito en el término de mayor grado del polinomio y evaluamos la función:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4) = 6(-\infty)^2= 6\cdot (+\infty) = \bm{+\infty}

Como el menos infinito está elevado al cuadrado, el signo del infinito cambia a positivo.

 

Ejercicio 12

Halla el límite en el infinito de la siguiente función racional:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5}

Para determinar el límite al infinito sustituimos x por más infinito en el término de mayor grado del numerador y del denominador de la fracción:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5} = \cfrac{7}{2\cdot(+\infty)}=\frac{7}{+\infty}=\bm{0}

Recuerda que cualquier número dividido entre más o menos infinito da como resultado 0.

 

Ejercicio 13

Resuelve el siguiente límite en el infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x)

Para calcular el límite cuando x tiende a ±∞ de una función solamente nos tenemos que fijar en el monomio de mayor grado de la función:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x) = -(-\infty)^3= -(-\infty)= \bm{+\infty}

 

Ejercicio 14

Calcula el límite de la siguiente función cuando x tiende a menos infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4)

En este caso simplemente debemos sustituir el infinito en el término cuadrático:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4) = -4(-\infty)^2= -4\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}

 

Ejercicio 15

Encuentra el límite de la siguiente función exponencial cuando x tiende a más infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x

Aunque sea una función exponencial, el proceso para resolver el límite es el mismo: sustituir la x por el infinito.

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x = 2^{+\infty}=\bm{+\infty}

 

Ejercicio 16

Resuelve el límite al infinito de la siguiente función exponencial:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x}

Para resolver este límite debemos usar las propiedades de las fracciones:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x} = 5^{-(+\infty)}=5^{-\infty}= \cfrac{1}{5^{+\infty}}= \cfrac{1}{\infty} =\bm{0}

 

Ejercicios de indeterminaciones

Ejercicio 17

Resuelve el siguiente límite al infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}

El límite da la indeterminación menos infinito entre más infinito. El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, por lo que el límite indeterminado es igual a más infinito. Sin embargo, como la división es infinito negativo entre infinito positivo, el resultado es menos infinito.

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}

 

Ejercicio 18

Soluciona el siguiente límite indeterminado:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}

En este problema, la forma indeterminada infinito sobre infinito se consigue del cociente de dos polinomios con el mismo grado, por lo tanto, el resultado del límite indeterminado es la división de sus coeficientes principales:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}

 

Ejercicio 19

Calcula el siguiente límite al menos infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}

El grado de la expresión algebraica del numerador es inferior al grado de la expresión del denominador, así que la indeterminación +∞/+∞ da 0:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

 

Ejercicio 20

Resuelve el siguiente límite indeterminado de una función con raíces:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}

La expresión del numerador está bajo un radical, por lo que su grado es 7/3. Por otra parte, el polinomio del denominador es cuadrático. Y como 7/3>2, el límite da más infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}

 

Ejercicio 21

Determina el límite al infinito de la siguiente función con fracciones:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}

En este ejercicio se obtiene la indeterminación menos infinito dividido por menos infinito con el grado del numerador mayor que el grado del denominador, por tanto:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}

 

Ejercicio 22

Halla el límite al menos infinito de la siguiente función:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}

El polinomio del denominador es cuadrático, mientras que el polinomio del numerador es lineal. Por lo tanto, la indeterminación infinito dividido por infinito da 0.

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}

 

Ejercicio 23

Resuelve el límite al menos infinito de la siguiente función:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}

El numerador es de mayor grado que el denominador, así que el resultado de la forma indeterminada ∞/∞ será infinito. Además, el signo del infinito será negativo porque positivo entre negativo resulta en negativo:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}

 

Ejercicio 24

Soluciona el siguiente límite al infinito:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}

La función exponencial es de mayor orden que la función polinómica, por lo que el límite dará infinito. Sin embargo, al dividir positivo entre negativo, el signo del infinito será negativo:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}

 

Ejercicio 25

Calcula el límite al infinito de la siguiente función con una raíz cuadrada:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}

El numerador está compuesto por una raíz cuadrada, por lo que su grado es 2/2=1. Entonces, el grado del numerador es igual al del denominador, así que la indeterminación infinito entre infinito queda resuelta de la siguiente manera:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}= \cfrac{\sqrt{4(+\infty)^2}}{-2(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}  = \cfrac{\sqrt{4}}{-2}=\cfrac{2}{-2}=\bm{-1}

 

Ejercicio 26

Resuelve el límite al infinito de la siguiente función con dos radicales:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}

El grado del numerador es 7/3=2,33, y el grado del denominador es 5/2=2,5. Por lo tanto, como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite indeterminado infinito entre infinito es 0:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

 

Ejercicio 27

Calcula el siguiente límite:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}

Independientemente del grado del numerador, como en el denominador tenemos una función exponencial, el resultado de la forma indeterminada infinito sobre infinito es 0:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

 

Ejercicio 28

Determina el límite al infinito de la siguiente función racional:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)

En primer lugar, tratamos de hacer el cálculo del límite sustituyendo el infinito en la función:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}

Pero nos encontramos con la indeterminación ∞ – ∞. Por tanto, reducimos las fracciones a común denominador:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}

Y como ahora las dos fracciones tienen el mismo denominador, las podemos juntar en una sola fracción:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}

Efectuamos el paréntesis del numerador:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}

Y, finalmente, determinamos el límite:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}

En este caso la indeterminación ∞/∞ da +∞ porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

 

Ejercicio 29

Soluciona el límite de la siguiente función fraccionaria cuando x tiende a 0:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)

Primero intentamos calcular el límite como siempre:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}

Pero obtenemos la forma indeterminada ∞-∞. Por tanto, debemos reducir las fracciones de la función a común denominador.

En este caso, x4 es un múltiple de x2, así que solo multiplicando el numerador y el denominador de la segunda fracción por x2 ya conseguiremos que las dos fracciones tengan el mismo denominador:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}

Ahora ya podemos restar las dos fracciones:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}

Intentamos resolver el límite de nuevo:

\displaystyle \lim_{x \to 0}  \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}

Pero nos encontramos con la indeterminación de una constante partida por cero. Así que tenemos que calcular los límites laterales de la función.

\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

En conclusión, como los dos límites laterales de la función en el punto x=0 dan como resultado -∞, la solución del límite es -∞:

\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \  \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}

 

Ejercicio 30

Resuelve el límite al infinito de la siguiente función con raíces:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)

Al intentar resolver el límite obtenemos la indeterminación infinito menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}

Por tanto, como hay radicales en la función, debemos multiplicarla y dividirla por la expresión radical conjugada:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

En el numerador tenemos el producto notable de una suma por una diferencia, que es igual a la diferencia de cuadrados. Por tanto:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Simplificamos el radical elevado al cuadrado:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Operamos en el numerador:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Y, para acabar, hallamos el límite:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}

En este caso la indeterminación infinito partido por infinito es más infinito porque el grado del numerador es más grande que el grado del denominador (recuerda que la raíz cuadrada reduce el grado entre dos:  \sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2 ).

 

Ejercicio 31

Resuelve el límite cuando x tiende al infinito de la siguiente función irracional:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)

Primero de todo, tratamos de calcular el límite como siempre:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}

Pero nos da como resultado la indeterminación de la diferencia de infinitos. Por tanto, como la función tiene raíces, debemos multiplicar y dividir la expresión por el conjugado radical:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}

Agrupamos la igualdad notable del numerador de la fracción:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Resolvemos la raíz cuadrada:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Resolvemos la identidad notable del cuadrado de una diferencia:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Operamos en el numerador:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Y, por último, calculamos el valor del límite al infinito:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =

Aunque haya una x al cuadrado en el denominador, su grado en verdad es 1 porque está dentro de una raíz:  \sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .

Por tanto, el resultado de la indeterminación -∞/+∞ es la división de los coeficientes de las x de mayor grado, ya que el grado del numerador es igual que el grado del denominador.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}

Fíjate que como hay dos términos de primer grado en el denominador \bigl(2x y \sqrt{4x^2}\bigr) , para resolver la indeterminación -∞/+∞ tenemos que coger todos los coeficientes de los términos de primer grado, es decir, el 2 de 2x y el \sqrt{4} de \sqrt{4x^2}.

 

Ejercicio 32

Calcula el límite cuando x tiende a 1 de la siguiente función con fracciones:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)

Al intentar hacer el límite obtenemos el límite indeterminado de infinito menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}

De manera que debemos reducir las fracciones a común denominador, o dicho con otras palabras, tenemos que multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el denominador de la otra:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}

Y como ahora las dos fracciones tienen el mismo denominador, las podemos juntar:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3-(3-3x)}{1-x-x^3+x^4}

Operamos:

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^3-3+3x}{1-x-x^3+x^4}

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}

Y volvemos a intentar resolver el límite:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\frac{-1^3+3\cdot1-2}{1^4-1^3-1+1}=\mathbf{\frac{0}{0}}

Pero nos encontramos con la indeterminación cero partido por cero. Así que tenemos que factorizar los polinomios del numerador y del denominador:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+x+1)}

Ahora simplificamos la fracción quitando el factor que se repite en el numerador y en el denominador:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-\cancel{(x-1)^2}(x+2)}{\cancel{(x-1)^2}(x^2+x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}

Y, finalmente, resolvemos el límite:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}=\frac{-(1+2)}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=\bm{-1}

 

Ejercicio 33

Calcula el límite de la siguiente función racional en el punto x=-2.

\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}

Lógicamente, primero intentamos resolver el límite:

\displaystyle\lim_{x \to -2} \frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}=\frac{(-2)^2+2\cdot (-2)}{(-2)^2-(-2)-6}=\frac{4-4}{4+2-6}=\frac{0}{0}

Pero nos encontramos con la indeterminación 0/0. Por tanto, tenemos que factorizar los polinomios del numerador y del denominador:

\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}=\lim_{x \to -2}\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-3)}

Ahora simplificamos la fracción quitando el paréntesis que se repite en el numerador y en el denominador:

\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x+2)}(x-3)}=\lim_{x \to -2}\frac{x}{x-3}

Y, por último, volvemos a calcular el límite con la fracción simplificada:

\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x}{x-3}=\cfrac{-2}{-2-3}=\cfrac{-2}{-5}=\mathbf{\cfrac{2}{5}}

 

Ejercicio 34

Resuelve el límite de la siguiente función cuando x tiende a -1:

\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}

Primero intentamos resolver el límite como siempre:

\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}=\frac{(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-2}{(-1)^3-5(-1)^2+2(-1)+8} =\frac{0}{0}

Pero obtenemos la indeterminación 0 entre 0. De manera que debemos hacer la factorización de los 2 polinomios de la fracción:

\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-2)(x-4)}

Ahora podemos simplificar los polinomios:

\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)\cancel{(x+1)}(x+2)}{\cancel{(x+1)}(x-2)(x-4)}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x-4)}

Y resolvemos el límite:

\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x-4)}=\frac{ (-1-1)(-1+2)}{(-1-2)(-1-4)}=\frac{(-2)\cdot (1)}{(-3)\cdot (-5)}=\frac{\bm{-2}}{\bm{15}}

 

Ejercicio 35

Determina la solución del límite de la siguiente función radical:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{2-\sqrt{2x}}

Primero de todo, comprobamos si el límite da algún tipo de indeterminación:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{2-\sqrt{2x}}=\frac{2^2-3\cdot2+2}{2-\sqrt{2\cdot 2}}=\frac{4-6+2}{2-2}=\frac{0}{0}

El límite da la indeterminación cero partido por cero y tenemos una raíz en la función. Por lo que debemos multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado de la expresión radical:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{\left(2-\sqrt{2x}\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}

El denominador corresponde al desarrollo de la identidad notable del producto de una suma por una diferencia, así que lo podemos simplificar:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{2^2-\left(\sqrt{2x}\right)^2}

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{4-2x}

Sin embargo, aún no podemos simplificar ningún término de la fracción. Por lo tanto, tenemos que factorizar los polinomios:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{4-2x}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)(x-2)\cdot\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2(x-2)}

De esta forma podemos simplificar la fracción:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\cancel{(x-2)}\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2\cancel{(x-2)}}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2}

Y ahora ya podemos determinar el resultado del límite:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2}=\frac{(2-1)\left(2+\sqrt{2\cdot 2}\right)}{-2}=\frac{1\cdot (2+2)}{-2}=\bm{-2}

 

Ejercicio 36

Calcula el límite cuando x tiende a 0 de la siguiente función radical:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+6x}{3-\sqrt{4x+9}}

En primer lugar, intentamos calcular el límite de la función como siempre hacemos:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+6x}{3-\sqrt{4x+9}}=\frac{0+0}{3-\sqrt{4\cdot 0+9}}=\frac{0}{3-3}=\frac{0}{0}

Pero obtenemos la forma indeterminada de 0/0. Por lo tanto, multiplicamos el numerador y el denominador de la función por el conjugado de la expresión irracional:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{\left(3-\sqrt{4x+9}\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}

Aplicamos la fórmula de la identidad notable correspondiente para simplificar el denominador:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{3^2-\left(\sqrt{4x+9}\right)^2}

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{9-(4x+9)}

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}

Ahora factorizamos el binomio del numerador sacando factor común:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}=\lim_{x\to 0}\frac{\bigl[x(x+6)\bigr]\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}

Simplificamos los factores que se repiten en el numerador y en el denominador de la función:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cancel{x}\left(x+6\right)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4\cancel{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{(x+6)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4}

Y, para terminar, resolvemos el límite de la función:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x+6)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4}=\\[3ex]\displaystyle=\frac{(0+6)\left(3+\sqrt{4\cdot 0+9}\right)}{-4}=\\[3ex]\displaystyle=\frac{6\cdot (3+3)}{-4}=\frac{36}{-4}=\bm{-9}\end{array}

 

Ejercicio 37

Resuelve el siguiente límite aplicando el método de la indeterminación 0/0:

\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}

Primero intentamos resolver el límite:

\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}=\frac{(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-2}{(-1)^3+5(-1)^2+7(-1)+3}=\frac{0}{0}

Pero en el límite obtenemos la indeterminación cero sobre cero. Por lo tanto, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador:

\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)^2(x+3)}

Ahora simplificamos la fracción eliminando los factores que se repiten en el numerador y en el denominador:

\displaystyle\lim_{x \to -1} \cfrac{(x-1)\cancel{(x+1)}(x+2)}{(x+1)^{\cancel{2}}(x+3)}=\lim_{x \to -1}\cfrac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}

Y volvemos a calcular el límite:

\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)(-1+2)}{(-1+1)(-1+3)}=\frac{-2\cdot 1}{0 \cdot 2}=\frac{-2}{0} =\infty

Pero ahora nos encontramos con la indeterminación de un número dividido entre 0. Por tanto, tenemos que calcular los límites laterales de la función cuando x tiende a -1.

Primero resolvemos el límite lateral de la función en el punto x=-1 por la izquierda:

\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)\cdot (-1+2)}{(-1+1)\cdot (-1+3)}=\frac{-2}{-0}=+\infty

Y luego calculamos el límite lateral de la función en el punto x=-1 por la derecha:

\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)\cdot (-1+2)}{(-1+1)\cdot (-1+3)}=\frac{-2}{+0}=-\infty

Por tanto, como los dos límites laterales no coinciden, el límite de la función en x=-1 no existe:

\displaystyle\displaystyle \lim_{x \to -1^-}f(x)= +\infty\neq\lim_{x \to -1^+}f(x)=-\infty\ \bm{\longrightarrow} \ \cancel{\exists} \lim_{x \to -1} f(x)

 

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