▷ Métodos de integración

En este artículo se explica cuáles son todos los métodos de integración (o reglas de integración). También encontrarás cuando usar cada método de integración y, además, podrás ver ejemplos resueltos de cada método de integración.

Índice

¿Cuáles son los métodos de integración?

Los métodos de integración son:

Método de integración directa.
Método de integración por cambio de variable.
Método de integración por partes.
Método de integración de funciones trigonométricas.
Método de integración de funciones racionales.

A continuación te explicamos en qué consiste cada tipo de integración y cómo se integra con cada método. Además, podrás ver ejemplos resueltos de cada método de integración.

Integración directa

El método de integración directa consiste en resolver la integral mediante una fórmula. Es decir, no se debe seguir ningún procedimiento complejo, sino que simplemente se utiliza una fórmula para hallar el resultado de la integral.

Así pues, las fórmulas que nos permiten resolver integrales de manera directa son las siguientes:

Integral de una constante:

$\displaystyle\int k \ dx=kx+C$

Integral de una potencia:

$\displaystyle\int x^ndx=\cfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Integrales de funciones exponenciales:

$\displaystyle \int e^x dx=e^x+C$

$\displaystyle \int a^x dx=\cfrac{a^x}{\ln a}+C$

Integrales logarítmicas:

$\displaystyle\int\frac{1}{x}\ dx= \ln|x| + C$

$\displaystyle\int\ln(x)\ dx= x\cdot \ln(x) -x+ C$

$\displaystyle\int\log_a(x)\ dx= \frac{x}{\ln(a)}\cdot \bigl(\ln(x)-1\bigr)+ C$

➤ Ver: Integrales directas

Integración por cambio de variable

El método de integración por cambio de variable, también llamado método de integración por sustitución, es un procedimiento que sirve para resolver integrales complicadas.

En concreto, el método de integración por sustitución consiste en cambiar una expresión por otra variable para facilitar el cálculo de la integral.

Los pasos para resolver una integral mediante el método de integración por sustitución o cambio de variable son:

Escogemos la expresión algebraica de la integral que queremos sustituir y cual será el cambio de variable.

$u=g(x)$

Derivamos en los dos lados de la ecuación para calcular dx.

$du=g'(x)dx$

Hacemos el cambio de variable en la integral. Para ello, debemos sustituir la expresión algebraica que hemos escogido por u y, además, sustituir dx por la expresión calculada en el paso anterior.

$\displaystyle\int f(u)\ du$

Resolvemos la integral obtenida.
Deshacemos el cambio de variable para obtener el resultado de la integral original.

$u \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ g(x)$

➤ Ver: Ejemplo de la integración por cambio de variable

Integración por partes

La integración por partes es un método de integración que sirve para resolver integrales de un producto de funciones.

En concreto, la fórmula del método de integración por partes es la siguiente:

$\displaystyle\int u\cdot dv= u\cdot v-\int v\cdot du$

Por lo tanto, para resolver una integral por partes primero tenemos que identificar del producto de funciones cuál es u y cuál es dv, luego calculamos du derivando u y calculamos v integrando y, por último, aplicamos la fórmula de la integración por partes para hallar el resultado de la integral.

Truco: La regla ALPES puede ayudarte a determinar los términos de la fórmula de la integración por partes. En concreto, la regla ALPES dice que el término u debe ser el primero de los que aparezca en la siguiente lista:

A: funciones Arco (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, etc.).
L: Logaritmos.
P: Potencias (de exponente numérico).
E: Exponenciales
S: Seno y coseno.

Siguiendo el orden de la lista, la función que aparezca más tarde debe ser el término dv de la fórmula de la integral por partes.

➤ Ver: Ejemplo de la integración por partes

Integración de funciones trigonométricas

Las integrales de funciones trigonométricas también se pueden resolver utilizando fórmulas. A continuación te dejamos las reglas de integración principales de este tipo de funciones:

Integral del seno:

$\displaystyle\int\text{sen}(x)\ dx=-\text{cos}(x)+C$

Integral del coseno:

$\displaystyle\int\text{cos}(x)\ dx=\text{sen}(x)+C$

Integral de la tangente:

$\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx=-\ln |cos(x)|+C$

Ten en cuenta que estas son solo las fórmulas de integración de las principales funciones trigonométricas, sin embargo, existen más funciones trigonométricas que son más difíciles de integrar. Puedes ver cómo se resuelven estas integrales en el siguiente enlace:

➤ Ver: Integración de funciones trigonométricas

Integración de funciones racionales

Las integrales racionales son aquellas compuestas por cocientes de polinomios, es decir, son fracciones que tienen un polinomio en el numerador y otro polinomio en el denominador.

$\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx$

Dependiendo de cómo sea la función racional, se distinguen cuatro casos de integrales racionales:

Para resolver una integral racional con el grado del numerador mayor que el grado del denominador tenemos que hacer la división polinómica y descomponer la integral en la suma de la integral del cociente más la integral del resto partido por el denominador. Y luego resolvemos cada integral por separado.

$P(x)=Q(x)\cdot C(x)+R(x)$

$\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx=\int C(x)\ dx+\int \frac{R(x)}{Q(x)}\ dx$

Para resolver una integral racional con el grado del numerador menor que el grado del denominador y, además, el denominador tiene raíces reales simples, tenemos que descomponer la integral racional en una suma de integrales de fracciones simples donde cada fracción tiene como denominador una raíz.

$\begin{aligned}\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)\dots (x-n)}\\[4ex]\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{A}{x-a}\ dx+\int\frac{B}{x-b}\ dx+\dots+\int\frac{N}{x-n}\ dx\end{aligned}$

Las integrales racionales con raíces reales múltiples en el denominador se resuelven siguiendo el mismo procedimiento que las integrales racionales con raíces simples, pero hay algunas raíces que están repetidas y, por tanto, la descomposición de la integral racional se hace de la siguiente manera:

$\begin{aligned}\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{P(x)}{(x-a)^k}\\[4ex]\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{A}{x-a}\ dx+\int\frac{B}{(x-a)^2}\ dx+\dots+\int\frac{N}{(x-a)^k}\ dx\end{aligned}$

Las integrales racionales con raíces complejas en el denominador se resuelven siguiendo el mismo procedimiento que las integrales racionales con raíces reales, no obstante, el numerador de la fracción parcial que corresponde a la raíz compleja es de primer grado:

$\begin{aligned}\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{P(x)}{(x^2+a)(x^2+c)\dots (x^2+n)}\\[4ex]\int\frac{P(x)}{Q(x)}\ dx&=\int\frac{Ax+B}{x^2+a}\ dx+\int\frac{Cx+D}{x^2+c}\ dx+\dots+\int\frac{Nx+M}{x^2+n}\ dx\end{aligned}$

Puede que solo con la teoría no acabes de entender cómo se calculan estos tipos de integrales. Para ver ejercicios resueltos de todos los casos y así entender mejor cómo se resuelven las integrales con este método de integración haz clic aquí:

➤ Ver: Integración de funciones racionales