En este post te explicamos qué es el teorema fundamental del cálculo y para qué sirve. Así pues, encontrarás cuál es la fórmula del teorema fundamental del cálculo y, además, un ejercicio resuelto sobre este teorema para acabar de entender su significado.
Índice
¿Qué es el teorema fundamental del cálculo?
El teorema fundamental del cálculo es un teorema que relaciona las derivadas con las integrales. En concreto, el teorema fundamental del cálculo indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.
Por lo tanto, según el teorema fundamental del cálculo, al integrar una función continua y luego calcular su derivada se obtiene la función original.
En ocasiones, el teorema fundamental del cálculo se abrevia con las siglas TFC.
El teorema fundamental del cálculo dice que si la derivada de una función F(x) da como resultado la función f(x), entonces la integral de la función f(x) es igual a F(x).
De modo que si la función f(x) es continua en el intervalo [a,b], entonces la función F(x) es derivable en el mismo intervalo y, además, se cumple que la derivada de F(x) evaluada en un punto de dentro de dicho intervalo es igual a el valor de la función f(x) en ese mismo punto.
Fórmula del teorema fundamental del cálculo
A partir del teorema fundamental del cálculo podemos calcular la derivada de una integral definida sin tener que resolver la integral.
Así pues, la derivada de una una integral definida es igual a la función a integrar evaluada en el extremo de integración superior por su derivada menos la función a integrar evaluada en el extremo de integración inferior por su derivada.
Entonces, la fórmula del teorema fundamental del cálculo es la siguiente:
Esta fórmula se obtiene combinando la teoría sobre el teorema fundamental del cálculo junto con la regla de la cadena.
➤ Ver: Regla de la cadena
Ejemplo del teorema fundamental del cálculo
A continuación veremos un ejemplo resuelto de la aplicación del teorema fundamental del cálculo.
- Halla la derivada de la función F(x) definida por la siguiente expresión:
Para calcular la derivada de la función F(x) no es necesario que integremos, pues podemos determinar el valor de la derivada utilizando el teorema fundamental del cálculo.
La fórmula del teorema fundamental del cálculo es la siguiente:
Así pues, usamos la fórmula anterior para hallar la derivada:
De este modo, gracias al teorema fundamental del cálculo, hemos podido calcular la derivada de la función de manera fácil y sencilla.
Segundo teorema fundamental del cálculo
Acabamos de ver cuál es el primer teorema fundamental del cálculo, no obstante, debes saber que también existe el segundo teorema fundamental del cálculo y, lógicamente, ambos teoremas están relacionados.
El segundo teorema fundamental del cálculo, también llamado regla de Barrow o regla de Newton-Leibniz, dice que el valor de una integral definida en un intervalo es igual a la función primitiva evaluada en el extremo de integración superior menos la función primitiva evaluada en el extremo de integración inferior.
De modo que la fórmula del segundo teorema fundamental del cálculo es la siguiente:
Donde la función F(x) es la función primitiva de la función f(x).
Puedes ver ejercicios resueltos en los que se aplica el segundo teorema fundamental del cálculo (o regla de Barrow) haciendo clic aquí:
➤ Ver: Ejercicios resueltos de la regla de Barrow
