▷ Integral indefinida

En este post te explicamos qué son las integrales indefinidas y cómo se resuelven. Así pues, encontrarás cuáles son las fórmulas que permiten resolver integrales indefinidas, cuáles son los diferentes métodos de integración, ejemplos de integrales indefinidas resueltas y cuáles son las propiedades de este tipo de integrales.

Índice

¿Qué es una integral indefinida?

Una integral indefinida es una operación matemática que consiste en calcular la función primitiva de una función. Es decir, dada una función f(x), la integral indefinida de la función f(x) es igual al conjunto de funciones que al ser derivadas dan como resultado f(x).

Así pues, la función obtenida de resolver una integral indefinida se llama función primitiva.

$\displaystyle\int$ es el signo de integración.
$\displaystyle f(x)$ es la función a integrar.
$\displaystyle dx$ es el diferencial de x, que indica la variable de la función que se integra.
$\displaystyle F(x)$ es la función resultado de la integral.

Por lo tanto, la integración indefinida es la operación matemática contraria a la derivación, pues gracias al teorema fundamental del cálculo sabemos que al integrar una función se obtiene aquella función que al ser derivada da como resultado la función original.

➤ Ver: Derivación (matemáticas)

Fórmulas de integrales indefinidas

Existen algunas fórmulas que sirven para resolver integrales indefinidas sin tener que llevar a cabo un procedimiento complejo, sino que nos permiten hallar el resultado de la integral indefinida de manera directa.

Así pues, las fórmulas para resolver integrales indefinidas son las siguientes:

Integral de una constante:

$\displaystyle\int k \ dx=kx+C$

Integral de una potencia:

$\displaystyle\int x^ndx=\cfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Integrales de funciones exponenciales:

$\displaystyle \int e^x dx=e^x+C$

$\displaystyle \int a^x dx=\cfrac{a^x}{\ln a}+C$

Integrales logarítmicas:

$\displaystyle\int\frac{1}{x}\ dx= \ln|x| + C$

$\displaystyle\int\ln(x)\ dx= x\cdot \ln(x) -x+ C$

$\displaystyle\int\log_a(x)\ dx= \frac{x}{\ln(a)}\cdot \bigl(\ln(x)-1\bigr)+ C$

Integrales trigonométricas:

$\displaystyle\int\text{sen}(x)\ dx=-\text{cos}(x)+C$

$\displaystyle\int\text{cos}(x)\ dx=\text{sen}(x)+C$

$\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx=-\ln |cos(x)|+C$

Si te fijas, el resultado de cualquier integral indefinida incluye una constante de integración (C), la cual puede tomar cualquier valor real. Para saber qué es esta constante de integración haz clic aquí:

➤ Ver: ¿Qué es la constante de integración?

Ejercicios resueltos de integrales indefinidas

Resuelve las siguientes integrales indefinidas:

$\text{A) } \displaystyle\int 2 \ dx$

$\text{B) }\displaystyle\int x^3 dx$

$\text{C) } \displaystyle\int 6^x \ dx$

$\text{D) }\displaystyle\int 7x^6 dx$

$\text{E) }\displaystyle\int\log_4(x) dx$

$\text{F) } \displaystyle\int e^{10x-2} \ dx$

$\text{G) }\displaystyle\int\frac{1}{x\ln (x)}\ dx$

$\text{H) } \displaystyle\int\text{sen}(5x)\ dx$

Ver solución

$\text{A) } \displaystyle\int 2 \ dx=2x+C$

$\text{B) }\displaystyle\int x^3 dx=\cfrac{x^4}{4}+C$

$\text{A) } \displaystyle\int 6^x \ dx=\cfrac{6^x}{\ln 6}+C$

$\text{D) }\displaystyle\int 7x^6 dx =7\int x^6 dx = \cfrac{7x^7}{7}=x^7+C$

$\text{E) }\displaystyle\int\log_4(x) dx=\frac{x}{\ln(4)}\cdot \bigl(\ln (x)-1\bigr)$

$\text{F) } \displaystyle\int e^{10x-2} \ dx=\int \cfrac{10}{10}\cdot e^{10x-2} \ dx=\cfrac{1}{10}\int 10 \cdot e^{10x-2} \ dx= \cfrac{e^{10x-2}}{10}+ C$

$\text{G) }\displaystyle\int\frac{1}{x\ln (x)}\ dx= \int\frac{\frac{1}{x}}{\ln (x)}=\ln|\ln(x)|+C$

$\text{H) } \displaystyle\int\text{sen}(5x)\ dx =\frac{1}{5}\int 5\cdot \text{sen}(5x)\ dx =-\frac{\text{cos}(5x)}{5}+C$

➤ Ver: Tabla de integrales

Métodos de integración

Aparte de las fórmulas que hemos visto más arriba que nos permiten hallar el resultado de una integral indefinida de manera directa, existen otros métodos de integración que sirven para resolver integrales indefinidas más complicadas.

De hecho, hay algunas integrales que no se pueden solucionar con fórmulas, sino que se debe emplear un procedimiento complejo para calcular su solución.

Así pues, todos los métodos de integración que sirven para resolver integrales indefinidas son los siguientes:

Método de integración directa.
Método de integración por cambio de variable.
Método de integración por partes.
Método de integración de funciones trigonométricas.
Método de integración de funciones racionales.

Puedes ver en qué consiste cada método de integración junto con ejemplos resueltos de cada método haz clic en el siguiente enlace:

➤ Ver: Métodos de integración

Propiedades de las integrales indefinidas

Las propiedades de las integrales indefinidas son:

La integral de una suma (o resta) de funciones es igual a la suma (o resta) de la integral de cada función por separado.

$\displaystyle\int\bigl[f(x)\pm (x)\bigr]\ dx=\int f(x)\ dx\pm \int g(x)\ dx$

La integral del producto de una constante por una función es equivalente al producto de la constante por la integral de la función.

$\displaystyle\int k\cdot f(x)\ dx=k\int f(x)\ dx$

Si una función es menor o igual que otra, la integral de la primera función también es menor o igual que la integral de la segunda función.

$\displaystyle f(x)\leq g(x) \ \Rightarrow \ \int f(x) \ dx \leq \int g(x) \ dx$

El valor absoluto de la integral de una función es menor o igual que la integral del valor absoluto de dicha función.

$\displaystyle |f(x)| \text{ integrable} \ \Rightarrow \left|\int f(x)\ dx\right| \leq \int |f(x)| \ dx$

Integrales indefinidas e integrales definidas

Para terminar, veremos cuál es la diferencia entre una integral indefinida y una integral definida, pues se podría decir que son dos tipos de integrales opuestos.

Las integrales definidas son integrales que sirven para calcular el área de la región comprendida entre la función y el eje de abscisas en un intervalo determinado. De manera que la integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área entre la gráfica de f(x), el eje X y las rectas verticales x=a y x=b.

Por lo tanto, la diferencia entre las integrales indefinidas y las integrales definidas es que las integrales indefinidas se resuelven para todo el dominio de la función, en cambio, la integrales definidas se calculan en tan solo un intervalo del dominio de la función.

Además, la solución de una integral indefinida es una función, mientras que las integrales definidas dan como resultado un único valor.

➤ Ver: Integrales definidas