▷ Integral de tangente al cuadrado

En este post podrás ver cuál es la integral de tangente al cuadrado de x y, además, la demostración de la fórmula de esta integral trigonométrica.

Índice

¿Cuál es la integral de tangente al cuadrado?

➤ Ver: Características de la función tangente

La integral de tangente al cuadrado de x es igual a la tangente de x menos x más la constante de integración.

$\displaystyle\int\text{tan}^2(x)\ dx=\text{tan}(x)-x+C$

Al estar elevada a la dos, la integral de la tangente al cuadrado es más difícil de resolver que la integral de la tangente. Aun así, se trata de una integral trigonométrica que debes dominar, puedes ver cómo se integra la función tangente aquí:

➤ Ver: Integral de la función tangente

Demostración de la fórmula de la integral de tangente al cuadrado

A continuación vamos a demostrar la fórmula de la integral de la tangente al cuadrado, de esta forma podrás cómo se resuelve este tipo de integral trigonométrica.

$\displaystyle\int\text{tan}^2(x)\ dx$

Para poder calcular esta integral debemos emplear la identidad trigonométrica de que la tangente al cuadrado de x es equivalente a la secante al cuadrado de x menos 1.

$\text{tan}^2(x)=\text{sec}^2(x)-1$

Así pues, utilizamos la identidad trigonométrica para reescribir la integral:

$\displaystyle\int\text{tan}^2(x)\ dx=\int\left(\text{sec}^2(x)-1\right)\ dx$

Una integral de una resta de funciones es equivalente a la resta de las integrales de dichas funciones, por lo que podemos separar la integral anterior en dos:

$\displaystyle\int\left(\text{sec}^2(x)-1\right)\ dx=\int\text{sec}^2(x)\ dx-\int 1 \ dx$

Ahora resolvemos las dos integrales:

$\displaystyle\int\text{sec}^2(x)\ dx-\int 1 \ dx=\text{tan}(x)-x +C$

Y de este modo llegamos a la fórmula de la integral de la tangente elevada al cuadrado de x.

$\displaystyle\int\text{tan}^2(x)\ dx=\text{tan}(x)-x+C$

➤ Ver: Integral del seno al cuadrado
➤ Ver: Integral del coseno al cuadrado

¿Cuál es la integral de tangente al cuadrado?

Demostración de la fórmula de la integral de tangente al cuadrado

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