▷ Función Tangente: gráfica, características, fórmula...

En esta página encontrarás todo sobre la función tangente: qué es, cuál es su fórmula, cómo representarla en una gráfica, las características de la función, su periodo, etc. Además, podrás ver ejemplos de funciones tangentes para entender el concepto totalmente. Incluso se explica el teorema de la tangente y las relaciones que tiene la función tangente con las otras razones trigonométricas.

Índice

Fórmula de la función tangente

La función tangente de un ángulo α es una función trigonométrica cuya fórmula se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo (o adyacente) de un triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo recto).

cual es la formula de la funcion tangente

la tangente es una funcion trigonometrica

A este tipo de función matemática también se le llama tangentoide, tangenoide o función tangencial. Y se puede expresar con la abreviatura «tg» o también «tan».

La función tangente es una de las tres razones trigonométricas más conocidas, junto con el seno y el coseno de un ángulo.

Valores característicos de la función tangente

Hay algunos ángulos determinados que se repiten frecuentemente y, por lo tanto, es conveniente saber el valor de la función tangente en estos ángulos:

valores caracteristicos de la funcion tangente

Por otro lado, la función tangente se puede relacionar con las funciones seno y coseno mediante la siguiente identidad fundamental trigonométrica:

$\text{tg } \alpha = \cfrac{\text{sen }\alpha}{\text{cos }\alpha}$

De modo que el signo de la función tangente depende del cuadrante en el que se encuentre el ángulo:

Si el ángulo pertenece al primer cuadrante su tangente será positiva, ya que en ese cuadrante el seno y el coseno también son positivos.
Si el ángulo cae en el segundo cuadrante su tangente será negativa, porque en ese cuadrante el seno es positivo pero el coseno es negativo.
Si el ángulo está dentro del tercer cuadrante su tangente será positiva, debido a que en ese cuadrante tanto el seno como el coseno son negativos.
Si el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante su tangente será negativa, puesto que en ese cuadrante el seno es negativo y en cambio el coseno positivo.

Representación gráfica de la función tangente

Con la tabla de valores que hemos visto en el apartado anterior podemos graficar la función tangente. Y al representar la función tangente gráficamente se obtiene:

representacion grafica de la funcion tangente

Como puedes ver en la gráfica, los valores de las imágenes de la función tangente no están acotados, a diferencia de las funciones seno y coseno. Además, los valores se van repitiendo cada 180 grados (π radianes), por lo que se trata de una función periódica cuyo periodo es 180º.

Por otro lado, en este gráfico se aprecia que la función tangente es impar, porque sus elementos opuestos tienen imágenes opuestas, o dicho de otra forma, es simétrica respecto el origen (0,0). Por ejemplo, la tangente de 45º es 1 y la de -45º es -1.

Finalmente, también se puede ver que la función tangente tiene asíntotas verticales. Por ejemplo, se acerca mucho a la recta x=90º pero nunca llega a tocarla, y sucede lo mismo cada 180 grados. Esto significa que el límite de la función en estos puntos tiende al infinito.

Propiedades de la función tangente

La función tangente tiene las siguientes características:

El dominio de la función tangente son todos los números reales excepto los puntos donde hay una asíntota vertical:

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right\} \qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{\ldots \ , \ -\frac{\pi}{2} \ , \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{3\pi}{2} \ , \ \ldots \right\}$

El recorrido o rango de la función tangente son todos los números reales.

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

Se trata de una función continua e impar de periodicidad π.

$\displaystyle \text{tg}(-x) =- \text{tg }x$

Este tipo de función trigonométrica tiene un único punto de corte con el eje de las ordenadas (eje Y) en el punto (0,0).

$(0,0)$

En cambio, intercepta periódicamente con el eje de las abscisas (eje X) en las coordenadas múltiples de pi.

$\displaystyle (k\pi ,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

La función es estrictamente creciente en todo el dominio, por lo que no tiene ni máximos ni mínimos.

La derivada de la tangente es:

$f(x)=\text{tg } x \ \longrightarrow \ f'(x)= 1+\text{tg}^2 x=\cfrac{1}{\text{cos}^2 x} =\text{sec}^2 x$

Por último, la integral de la función tangente es:

$\displaystyle \int \text{tg } x \ dx= -\ln \lvert \text{cos }x \rvert + C$

Periodo de la función tangente

A diferencia de otras funciones trigonométricas como el seno y el coseno, la función tangente no tiene amplitud ya que no tiene ni valor máximo ni mínimo. Sin embargo, sí que es una función periódica, es decir, sus valores se van repitiendo según una frecuencia tal y como hemos visto en su gráfica.

$\displaystyle f(x)= \text{tg}(wx)$

El periodo de la función tangente es la distancia entre dos puntos en los que se repite la gráfica, y se calcula con la siguiente fórmula:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{\pi}{w}$

Teorema de la tangente

Aunque normalmente la fórmula de la tangente usa utiliza en triángulos rectángulos, también existe un teorema para aplicar en cualquier tipo de triángulo: el teorema de la tangente.

El teorema de la tangente relaciona los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera de la siguiente manera:

$\displaystyle \cfrac{a+b}{a-b} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{a+c}{a-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\gamma \vphantom{\beta}}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\gamma\vphantom{\beta}}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{b+c}{b-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)}$

Relaciones de la función tangente con otras razones trigonométricas

A continuación tienes las relaciones de la tangente con las razones trigonométricas más importantes de la trigonometría.

Relación con el seno

La tangente y el seno de un ángulo se relacionan de la siguiente manera:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\text{sen }\alpha }{\sqrt{1-\text{sen}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Relación con el coseno

De forma similar, la tangente y el coseno de un ángulo se relacionan con la siguiente igualdad:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\sqrt{1-\text{cos}^2\alpha \vphantom{\bigl( }} }{\text{cos }\alpha}$

Relación con la cosecante

Aunque es difícil de demostrar, se puede despejar la tangente para que solo dependa de la cosecante:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 \vphantom{\bigl( }}}$

Relación con la secante

La tangente y la secante de un ángulo se relacionan mediante la siguiente ecuación:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm\sqrt{\text{sec}^2\alpha -1$

Relación con la cotangente

La tangente y la cotangente son inversos multiplicativos:

$\displaystyle \text{tg }\alpha =\pm \cfrac{1}{\text{cot }\alpha}$

2 comentarios en “Función tangente”

Luis Alberto Mosquera
28/02/2022 a las 17:50

El periodo de la función tangente es π, por lo tanto en la función f(x)=tan(wx), el periodo sería π/w y no 2π/w como propones aquí

Responder
1. Funciones
  28/02/2022 a las 20:39
  
  Toda la razón Luis Alberto. Muchas gracias por reportar el error, ya se ha corregido. 😉