▷ Antiderivada

En este artículo te explicamos que són las antiderivadas. Así pues, encontrarás la definición de antiderivada, ejemplos de antiderivadas y, además, un teorema sobre las antiderivadas para entender por completo su significado.

Índice

¿Qué es una antiderivada?

Una antiderivada es la función opuesta a una derivada, es decir, la antiderivada de una función es la integral de esa función. De manera que cuando se deriva la antiderivada de una función, se obtiene la función original.

La antiderivada de la función f(x) se denota como F(x)+C, donde C es la constante de integración.

$\cfrac{dF(x)}{dx}=f(x)$

$\displaystyle \int f(x) \ dx =F(x)+C$

Por ejemplo, la derivada de x al cubo (x³) es 3x². Por lo tanto, esto significa que la antiderivada de 3x² es x³+C.

$\cfrac{d(x^3)}{dx}=3x^2$

$\displaystyle \int 3x^2 \ dx =x^3+C$

Fíjate que generalmente cuando se calcula la antiderivada se añade una constante de integración, esto es debido a que cada función tiene una familia de antiderivadas. Aunque dadas unas condiciones se puede hallar el valor de la constante de integración. Más abajo veremos cómo se hace.

➤ Ver: Derivada de una función

Ejemplo de antiderivada

Calcula la familia de antiderivadas de la función coseno de x.

Para calcular la antiderivada del coseno tenemos que saber cuál es su derivada. Si repasamos la tabla de las derivadas, vemos que la derivada del seno es el coseno.

$\cfrac{d\bigl(\text{sen}(x)\bigr)}{dx}=\text{cos}(x)$

Por lo tanto, como la derivación y la integración son operaciones inversas, la integral del coseno da como resultado el coseno. Así pues, utilizamos la fórmula de la integral del coseno para hallar su familia de antiderivadas:

$\displaystyle \int \text{cos}(x) \ dx =\text{sen}(x)+C$

Ten en cuenta que la constante de integración puede tomar cualquier valor y, por tanto, una familia de antiderivadas está compuesta por infinitas funciones antiderivadas.

Problema resuelto de antiderivadas

Calcula la antiderivada de la función f(x)=e^x cuya gráfica pasa por el punto P(0,2).

Para resolver este problema lo primero que debemos hacer es integrar la función exponencial e^x:

$\displaystyle F(x)=\int e^x\ dx=e^x+C$

➤ Ver: Integral de e a la x

De modo que ahora solo nos queda hallar el valor de la constante de integración para determinar la antiderivada. Para ello, sustituimos las coordenadas del punto dado en la función y resolvemos la ecuación resultante:

$\displaystyle F(0)=2$

$\displaystyle e^0+C=2$

$\displaystyle 1+C=2$

$\displaystyle C=2-1$

$\displaystyle C=1$

De modo que la antiderivada que nos pedía el ejercicio es:

$\displaystyle F(x)=e^x+1$

➤ Ver: Integrales de funciones exponenciales

Teorema de las antiderivadas

Para terminar, vamos a ver un teorema sobre las antiderivadas para profundizar en el concepto de la antiderivada de una función.

Dada una función F(x) que es una antiderivada de la función f(x), entonces cualquier función que se pueda expresar como la suma de la función F(x) más una función constante también será una antiderivada de la función f(x).

$\displaystyle\left.\begin{array}{c}F'(x)=f(x)\\[2ex]G(x)=F(x)+C\end{array}\right\} \longrightarrow \ G'(x)=f(x)$

A continuación se procede a demostrar este teorema.

Dada una función G(x) que equivale a otra función F(x) más una constante:

$G(x)=F(x)+C$

La derivada de una constante es igual a cero, por lo tanto, la derivada de la función G(x) es:

$\cfrac{d\bigl(G(x)\bigr)}{dx}=\cfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}+\cfrac{d\bigl(C\bigr)}{dx}=\cfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}+0=\cfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}$

De modo que las funciones G(x) y F(x) tienen la misma derivada:

$\cfrac{d\bigl(G(x)\bigr)}{dx}=\cfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}=f(x)$

En consecuencia, si ambas funciones tienen la misma derivada, significa que ambas son antiderivadas de la misma función.

¿Qué es una antiderivada?

Ejemplo de antiderivada

Problema resuelto de antiderivadas

Teorema de las antiderivadas

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