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Función constante

En este post explicamos qué es una función constante y cuál es su representación gráfica. Además, podrás ver varios ejemplos de funciones constantes y todas las características de este tipo de funciones. Y, finalmente, podrás practicar con ejercicios resueltos de funciones constantes.

¿Qué es una función constante?

Una función constante es aquella función que siempre toma la misma imagen para cualquier valor de la variable independiente (x), es decir, una función constante es de la forma f(x)=k, donde k es un número real cualquiera.

f(x)=k

La representación gráfica de una función constante es una recta horizontal.

Por ejemplo, todas las siguientes funciones son constantes:

f(x)=1 \qquad f(x)=7 \qquad f(x)=5

Representación gráfica de una función constante

Una vez hemos visto el concepto de función constante, vamos a ver cómo representar en una gráfica una función constante.

Representar gráficamente una función constante es bastante fácil, simplemente hay que dibujar una recta horizontal en el valor de la función (k).

Fíjate en los siguientes ejemplos en los que hemos representado en un gráfico tres funciones constantes diferentes:

funciones constantes

Fíjate que toda función constante es paralela al eje de las abscisas (eje X).

Por otro lado, debes tener en cuenta que una recta vertical no es una función constante. De hecho, una recta vertical no es ni una función, ya que por definición una función solamente puede tener una única imagen para cada valor de x.

Características de la función constante

A continuación, vamos analizar las propiedades que tiene la función constante. Sea una función constante de valor cualquiera:

f(x)=k

  • El dominio de la función constante son todos los números reales:

\text{Dom } f = \mathbb{R}

  • El recorrido o rango de la función constante es únicamente el valor de la constante:

\text{Im } f= k

  • Se trata de una función continua y par, porque la función siempre toma el mismo valor:

\displaystyle f(x)=f(-x)

  • La función constante no es ni creciente ni decreciente, es un tipo de función que siempre tiene pendiente nula:

m=0

  • Siempre corta el eje OY en el punto (0,k).

(0,k)

  • Cualquier función constante es un polinomio de grado cero.
  • Si k\neq 0 la función constante no tiene ninguna raíz, en cambio, si k=0 todos los números reales son raíces de la función constante.
  • El límite de la función constante cuando x tiende a más infinito o menos infinito es igual al valor de la constante:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=k

\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=k

  • La derivada de la función constante siempre es nula:

f(x)=k \ \longrightarrow \ f'(x)=0

De hecho, también se puede hacer la definición de la función constante a partir del concepto de derivada: una función es constante si se anula su derivada en todo su dominio.

  • La integral de la función constante es la función lineal (o afín):

\displaystyle \int k \ dx= x + C

Ver: ¿Qué es una función lineal?

Función constante en un intervalo

Hemos visto cómo es una función constante, sin embargo, una función puede ser constante solamente en un intervalo de su dominio.

Para poder entender este concepto debes saber qué son las funciones definidas a trozos, así que antes de seguir te recomendamos que le eches un vistazo a la siguiente explicación:

Ver: ¿Qué es una función definida a trozos?

Una vez ya sabes qué son este tipo de funciones, fíjate en la función definida a trozos representada a continuación:

Como puedes ver en la gráfica, la función no es constante en todos los números de su dominio. Pero sí que es constante en el intervalo [-2,4), por lo tanto, se trata de una función constante solamente en un intervalo.

Ejercicios resueltos de la función constante

Ejercicio 1

Identifica cuáles de las siguientes funciones son constantes:

f(x)=4\qquad g(x)=x+3\qquad h(x)=0\qquad z(x)=5x

La primera función, f(x)=4, es una función constante ya que siempre vale 4 independientemente del valor que tome la variable x.

La segunda función, g(x)=x+3, no es una función constante por que el valor de la función varia dependiendo del valor de x. Se trata de una función afín.

La tercera función, h(x)=0, siempre es igual a 0 por cualquier valor de x, por tanto, sí que es una función constante.

La cuarta función, z(x)=5x, no es una función constante porque varia según el valor de x. Es una función lineal.

 

Ejercicio 2

Halla la función constante que pasa por el punto (0,6).

Algebraicamente, la formula de la función constante siempre tiene la misma forma:

f(x)=k

Y gráficamente la función constante siempre es una línea horizontal, por tanto, las coordenadas de una función constante siempre son iguales y de valor k.

Como el punto por el que pasa la función tiene como coordenada y=6, la función constante que estamos buscando en este problema tiene que ser:

f(x)=6

 

Ejercicio 3

Representa en una misma gráfica las siguientes funciones constantes:

f(x)=4\qquad f(x)=1\qquad f(x)=-6

Para representar cada función constante simplemente tenemos que trazar una línea recta horizontal a la altura de cada constante:

ejemplos de funciones constantes

 

10 comentarios en “Función constante”

  1. La función K tiene ordenada al origen?. Si me piden completar un cuadro como completo ese lugar di me dan f(x) = 3

    1. Hola Mariana,

      Sí, la función constante tiene ordenada en el origen ya que corta el eje OY. En este caso, la ordenada en el origen de f(x)=3 es 3, pues la función corta el eje OY en ese valor.

    1. Hola José, la función que propones es constante, lo que significa que su valor siempre será igual independientemente del valor de x. En consecuencia, el resultado seguiría siendo 5.

    1. Hola Zara,

      Hay algunos libros que sí que la consideran función y otros no. La razón es que su valor es siempre el mismo, por lo que su imagen no varia independientemente del valor de la x.

    1. La función constante sí que está acotada ya que todos sus valores son iguales y, por tanto, se pueden definir mediante una cota superior y una cota inferior.

    1. Hola Ariana,

      Sí, cumple ambas condiciones, porque la función tiene una sola imagen por cada valor de x.

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