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Derivada de una constante

Aquí te explicamos cuánto vale la derivada de una constante (con ejemplos). También te enseñamos cómo se calcula la derivada de una constante por una función, una constante partida por una función y una constante elevada a una función. Finalmente, podrás practicar con ejercicios resueltos de derivadas de constantes.

Cuál es la derivada de una constante

La derivada de una constante siempre es igual a cero, independientemente del valor de la constante.

f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0

Por lo tanto, para hallar la derivada de una función constante no es necesario hacer ningún cálculo, simplemente la derivada es nula.

La derivada de una constante es cero porque la representación gráfica de una función constante no tiene pendiente.

Ejemplos de derivadas de constantes

Vista la definición de la derivada de una función constante, vamos a ver varios ejemplos resueltos para acabar de entender el concepto:

\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}

Como puedes ver, la derivada de una constante siempre da 0. No importa si el signo de la constante es positivo o negativo, o si el valor de la constante es muy grande o muy pequeño, su derivada será cero.

Demostración de la derivada de una constante

Una vez hemos visto cuánto es la derivada de una constante, pasaremos a demostrar por qué este tipo de derivadas son iguales a cero.

Sea f una función constante de cualquier valor:

f(x)=k

La fórmula para calcular de la derivada de una función en un punto es:

\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Ver: definición de derivada

Así pues, si resolvemos el límite para la función constante:

\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0

De modo que la derivada de una función constante vale 0 en cualquier punto. Por lo tanto, queda demostrada la fórmula de la derivada de una constante.

Derivada de una constante por una función

Acabamos de analizar la derivada de una constante sola, es decir, de una función sin ninguna variable. Pero, como bien sabes, se pueden combinar las funciones mediante operaciones. Por eso a continuación estudiaremos las derivadas de constantes combinadas con otros tipos de funciones, por ejemplo, la derivada de una constante multiplicada por otro tipo de función.

La derivada de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función.

f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)

Por ejemplo, la derivada de la siguiente función cuadrática es:

g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x

Por lo tanto, la derivada de la multiplicación de esta función por una constante es equivalente a multiplicar la derivada calculada en el paso anterior por la constante:

f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x

Derivada de una constante entre una función

La derivada de una constante entre una función es igual al producto de la constante cambiada de signo por la derivada de la función dividido entre la función al cuadrado.

f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}

Por ejemplo, la derivada de la siguiente constante partido por una función lineal es:

f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}

Ya que la derivada de 8x es 8.

Derivada de una constante elevada a una función

La derivada de una constante elevada a una función es igual al producto del logaritmo neperiano de la constante por la constante elevada a la función por la derivada de la función.

f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)

Por ejemplo, dado que la derivada del seno es el coseno, la derivación de una constante elevada al seno da:

f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)

Ejercicios resueltos de derivadas de constantes

Resuelve las siguientes derivadas de constantes:

\text{A)}\ f(x)=4

\text{B)}\ f(x)=99

\text{C)}\ f(x)=-15

\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}

\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}

\text{F)}\ f(x)=2\pi

\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)

\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}

\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}

Hasta el ejercicio F) todas las funciones son simples valores constantes, por lo que todas sus derivadas dan cero.

\text{A)}\ f'(x)=0

\text{B)}\ f'(x)=0

\text{C)}\ f'(x)=0

\text{D)}\ f'(x)=0

\text{E)}\ f'(x)=0

\text{F)}\ f'(x)=0

Aunque sea una fracción o una raíz, si la función no tiene ninguna variable significa que es una función constante y, en consecuencia, su derivada es nula.

Por otro lado, los siguientes tres ejercicios son funciones que son operaciones de constantes con otras funciones. Por tanto, para calcular sus derivadas debemos aplicar sus fórmulas correspondientes:

\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6

\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}

\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)

 

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