▷ Integral de un polinomio

En este este artículo te explicamos cómo resolver la integral de un polinomio. Así pues, encontrarás la fórmula de las integrales polinómicas y, además, varios ejemplos de integrales de polinomios resueltas paso a paso.

Índice

Fórmula de la integral de un polinomio

La integral de un polinomio es igual a la suma de las integrales de sus términos. Cada término de un polinomio es una potencia, por lo tanto, para resolver una integral de un polinomio se debe aplicar la fórmula de la integral de una potencia a cada uno de sus términos.

En la práctica, las integrales polinómicas son de los tipos de integrales más fáciles de resolver. A continuación tienes un ejemplo resuelto paso a paso para acabar de entender cómo se hace.

➤ Ver: Función polinómica

Ejemplo de la integral de un polinomio

$\displaystyle\int \left(x^3+4x^2-8x+5\right) dx$

Lo primero que debemos hacer para solucionar una integral de una función polinómica es separar sus términos en diferentes integrales, ya que la integral de una suma o resta de funciones es equivalente a la suma o resta de las integrales de dichas funciones:

$\displaystyle\int x^3\ dx+\int 4x^2\ dx-\int 8x\ dx+\int 5\ dx$

Gracias a las propiedades de las integrales, podemos sacar las constantes que multiplican a la variable x fuera de la integral:

$\displaystyle\int x^3\ dx+4\int x^2\ dx-8\int x\ dx+\int 5\ dx$

Aplicamos la fórmula de la integral de una potencia para resolver cada integral:

$\displaystyle\cfrac{x^4}{4}+4\cdot\cfrac{x^3}{3}-8\cdot \cfrac{x^2}{2}+5x+C$

Y, por último, resolvemos las operaciones para hallar el resultado de la integración del polinomio:

$\displaystyle\cfrac{x^4}{4}+\cfrac{4x^3}{3}-4x^2+5x+C$

➤ Ver: Derivada de un polinomio

Ejercicios resueltos de integrales de polinomios

Resuelve las siguientes integrales de funciones polinómicas:

$\text{A) }\displaystyle\int \left(x^8+4x^4-5x^2\right) dx$

$\text{B) }\displaystyle\int \left(3x^3-2x^2+1\right) dx$

$\text{C) }\displaystyle\int \left(6x^5+4x^3+8x-7\right)dx$

$\text{D) }\displaystyle\int \left(x^9-8x^7+\frac{3x^6}{4}+x^2+10x\right)dx$

Ver solución

$\text{A) }\displaystyle\int \left(x^8+4x^4-5x^2\right) dx=\frac{x^9}{9}+\frac{4x^5}{5}-\frac{5x^3}{3}+C$

$\text{B) }\displaystyle\int \left(3x^3-2x^2+1\right) dx=\frac{3x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+x+C$

{aligned}\text{C) }\displaystyle\int \left(6x^5+4x^3+8x-7\right)dx&=\frac{6x^6}{6}+\frac{4x^4}{4}+\frac{8x^2}{2}-7x+C\\[2ex]&=x^6+x^4+4x^2-7x+C\end{aligned}[/latex]

$\begin{aligned}\text{D) }\displaystyle\int \left(x^9-8x^7+\frac{3x^6}{4}+x^2+10x\right) dx&=\frac{x^{10}}{10}-\frac{8x^8}{8}+\frac{3x^7}{4\cdot 7}+\frac{x^3}{3}+\frac{10x^2}{2}\\[2ex]&=\frac{x^{10}}{10}-x^8+\frac{3x^7}{28}+\frac{x^3}{3}+5x^2\end{aligned}$

Fórmula de la integral de un polinomio

Ejemplo de la integral de un polinomio

Ejercicios resueltos de integrales de polinomios

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