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Función seno hiperbólico

En este post encontrarás todo sobre el seno hiperbólico: cuál es su fórmula, su representación gráfica, todas sus características, las relaciones con otras funciones,…

Fórmula del seno hiperbólico

La función seno hiperbólico es una de las principales funciones hiperbólicas y se representa con el símbolo senh(x) o sinh(x). El seno hiperbólico es igual a ex menos e-x dividido entre 2.

Por lo tanto, la fórmula del seno hiperbólico es la siguiente:

\displaystyle\text{senh}(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}

De modo que el seno hiperbólico está relacionado con la función exponencial.

Ver: características de la función exponencial

Representación gráfica del seno hiperbólico

Utilizando la fórmula que hemos visto en el apartado anterior, podemos hacer una tabla de valores del seno hiperbólico y representar la función gráficamente:

seno hiperbolico

En este gráfico se aprecia que el seno hiperbólico es una función impar, porque las x opuestas tienen imágenes opuestas, o dicho con otras palabras, la gráfica del seno hiperbólico es simétrica respecto el origen de coordenadas (0,0).

Como puedes ver, la gráfica del seno hiperbólico es muy diferente a la del seno, que es una función periódica. Puedes ver la representación gráfica del seno y todas las diferencias con el seno hiperbólico en el siguiente enlace:

Ver: Representación gráfica de la función seno

Características del seno hiperbólico

El seno hiperbólico tiene las siguientes propiedades:

  • El dominio de la función seno hiperbólico son todos los números reales:

\text{Dom } f = \mathbb{R}

  • El recorrido o rango de la función seno hiperbólico también son todos los números reales.

\text{Im } f= \mathbb{R}

  • El seno hiperbólico es una función continua e impar.

\displaystyle \text{senh}(-x) =- \text{senh}(x)

  • Intercepta el eje X y el eje Y en el mismo punto de corte, el origen de coordenadas:

(0,0)

  • El límite de la función seno hiperbólico cuando x tiende al más/menos infinito es igual a más/menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{senh}(x)=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{senh}(x)=-\infty

  • El seno hiperbólico es estrictamente creciente en todo el dominio, por lo que no tiene ni máximos ni mínimos.
  • Sin embargo, sí que cambia su curvatura en el punto x=0, por lo que es un punto de inflexión de la función. Para valores menores de x=0 se trata de una función cóncava, en cambio, para valores mayores de x=0 es una función convexa.
  • La derivada de la función seno hiperbólico es el coseno hiperbólico:

f(x)=\text{senh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\text{cosh}(x)

  • Del mismo modo, la integral de la función seno hiperbólico es el coseno hiperbólico:

\displaystyle \int \text{senh}(x) \ dx= \text{cosh}(x) + C

  • La serie de Taylor de la función seno hiperbólico es equivalente a la siguiente expresión:

\displaystyle\text{senh}(x)=x+\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}+\cfrac{x^7}{7!}+\dots=\sum_{n=0}^\infty\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

  • La transformada de Laplace de la función seno hiperbólico es la siguiente:

\mathcal{L}\bigl[\text{senh}(at)\bigr]=\cfrac{a}{s^2-a^2}

Relaciones matemáticas del seno hiperbólico

El seno hiperbólico está relacionado con las otras funciones hiperbólicas mediante las siguientes ecuaciones:

La ecuación fundamental relaciona el seno hiperbólico con el coseno hiperbólico:

\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)=1

Por tanto, las funciones hiperbólicas seno y coseno están relacionadas mediante la ecuación de la hipérbola, que es x2-y2=1. A diferencia de las funciones trigonométricas seno y coseno que están vinculadas a través de la ecuación de la circunferencia (x2+y2=1).

Las funciones hiperbólicas del seno, coseno y tangente se pueden relacionar mediante la siguiente ecuación:

\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}

Por otro lado, el seno hiperbólico de la suma o resta de dos números distintos se puede calcular con las siguientes fórmulas:

\text{senh}(x+y)=\text{senh}(x)\text{cosh}(y)+\text{senh}(y)\text{cosh}(x)

\text{senh}(x-y)=\text{senh}(x)\text{cosh}(y)-\text{senh}(y)\text{cosh}(x)

El seno hiperbólico del doble de un número se puede determinar aplicando la siguiente relación matemática:

\text{senh}(2x)=2\text{senh}(x)\text{cosh}(x)

La suma o resta de dos senos hiperbólicos se pueden hallar utilizando las siguientes fórmulas:

\displaystyle\text{senh}(x)+\text{senh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x-y}{2}\right)

\displaystyle\text{senh}(x)-\text{senh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x-y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x+y}{2}\right)

Por último, el cuadrado del seno hiperbólico se puede calcular aplicando la siguiente fórmula:

\text{senh}^2(x)=\cfrac{1}{2}\Bigl(\text{cosh}(2x)-1\Bigr)

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