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Función exponencial

En esta página encontrarás qué son las funciones exponenciales y también cómo representar en un gráfico una función exponencial. Además, verás todas sus características y varios ejemplos para entenderlo perfectamente. Finalmente, podrás practicar con ejercicios y problemas resueltos paso a paso sobre funciones exponenciales.

¿Qué es una función exponencial?

La definición de función exponencial es la siguiente:

En matemáticas, las funciones exponenciales son aquellas funciones que tienen la variable independiente x en el exponente de una potencia. Es decir, son de la siguiente forma:

f(x)=a^x

Donde a es un número real positivo y diferente de 1.

Ejemplos de funciones exponenciales

Las siguientes funciones son ejemplos de funciones exponenciales:

f(x)=3^{x}

f(x)=4^{-x}

\displaystyle f(x)=\left( \frac{1}{2} \right)^x

f(x)=5^x

Características de las funciones exponenciales

Las funciones exponenciales tienen las siguientes propiedades:

  • El dominio de una función exponencial son todos los números reales, o dicho con otras palabras, una función exponencial existe por cualquier valor de x.

\text{Dom } f=\mathbff{R}

  • Sin embargo, la función solo toma valores positivos, por lo tanto, el recorrido o rango de una función exponencial son todos los números reales positivos.

\text{Im } f= (0,+\infty)

  • Toda función exponencial es una función continua e inyectiva a la vez.
  • Si la función no está trasladada, cualquier función exponencial pasa por el punto (0,1). Porque la función evaluada en el cero siempre da como resultado uno.

f(0)=a^0=1

  • Asimismo, el valor de una función exponencial en x=1 es igual a la base.

f(1)=a^1=a

  • Si la base de la potencia (a) es mayor que 1 la función exponencial es creciente. Por contra, si el coeficiente a está dentro del intervalo entre 0 y 1 la función exponencial es decreciente.
  • En general, el eje X es una asíntota horizontal de una función exponencial.
  • La inversa de la función exponencial es la función logarítmica. Por tanto, las gráficas de una función exponencial y una función logarítmica son simétricas respecto de la recta y=x si ambas poseen la misma base.

Cómo representar en una gráfica una función exponencial

Las funciones exponenciales son muy sencillas de representar. Así que vamos a ver cómo graficar una función exponencial en un gráfico mediante un ejemplo.

  • Representa en una gráfica la siguiente función exponencial:

f(x)=2^x

En las funciones exponenciales no hace falta calcular el dominio, porque siempre serán todos los números reales:

\text{Dom } f = \mathbb{R}

Por tanto, simplemente tenemos que hacer la tabla de valores. Como este tipo de funciones cambian mucho de un punto a otro, calcularemos 5 puntos. Pero cuantos más puntos calculemos, más precisa será la representación de la función. 

  • x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=2^0= 1
  • x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=2^1= 2
  • x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2^2= 4
  • x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=2^{-1}= 0,5
  • x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=2^{-2}= 0,25

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ -1 & 0,5 \\ -2 & 0,25 \end{array}

Te recomendamos usar la calculadora para hallar los puntos de la tabla de valores, ya que son complicados de calcular a mano.

Ahora representamos los puntos en un gráfico:

Y finalmente unimos los puntos y alargamos la función:

como representar o graficar una funcion exponencial

Fíjate que la función por la derecha sigue creciendo hasta el infinito.

En cambio, la función por la izquierda va decreciendo pero nunca llega a 0. Aunque se acerca mucho, nunca lo llega a tocar. Eso quiere decir que la recta y=0 (el eje de las abscisas) es una asíntota horizontal.

Ejercicios resueltos de funciones exponenciales

Ejercicio 1

Representa gráficamente la siguiente función exponencial:

 f(x)= 2^x+1

Se trata de una función exponencial, por lo tanto, para representarla tenemos que crear una tabla de valores otorgando valores a la variable x:

 x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)= 2^0+1=2

 x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= 2^1+1=3

 x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)= 2^2+1=5

 x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)= 2^{-1}+1=1,5

 x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)= 2^{-2}+1=1,25

  \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ -1 & 1,5 \\ -2 & 1,25 \end{array}

Una vez tenemos la tabla de valores, representamos los puntos obtenidos en la gráfica y trazamos la función:

ejercicio resuelto paso a paso de funciones exponenciales

Fíjate que la función por la derecha sigue creciendo hasta el infinito. En cambio, por la izquierda la función va disminuyendo pero nunca llega a cruzar el 1. Eso es porque la función tiene una asíntota horizontal en la recta y=1.

En este caso la asíntota horizontal está en y=1 en vez del eje OX porque se ha hecho a la función una traslación vertical de una unidad hacia arriba.

 

Ejercicio 2

Representa en una gráfica la siguiente función exponencial:

 \displaystyle f(x)= \left(\frac{1}{3}\right)^x

Se trata de una función exponencial, de modo que para graficarla tenemos que construir una tabla de valores otorgando valores a la variable x:

 x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^0 = 1

 x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^1 = 0,33

 x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^2 = 0,11

 x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3

 x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)= \left(\cfrac{1}{3}\right)^{-2} = 9

  \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0,33 \\ 2 & 0,11 \\ -1 & 3 \\ -2 & 9 \end{array}

Una vez tenemos la tabla de valores, representamos los puntos calculados en la gráfica y dibujamos la función:

ejercicios resueltos de funciones exponenciales

Fíjate que la función por la izquierda sigue creciendo hasta el infinito. En cambio, por la derecha la función va disminuyendo pero nunca llega a cruzar el 0. Eso es porque la función tiene una asíntota horizontal en y=0 (el eje X).

 

Ejercicio 3

Representa en un gráfico la siguiente función exponencial:

 \displaystyle f(x)= \left(\frac{1}{2}\right)^x+3

Se trata de una función exponencial, por lo que para dibujarla tenemos que crear una tabla de valores evaluando la función en varios puntos:

 x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^0+3 = 4

 x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^1+3 = 3,5

 x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^2+3 = 3,25

 x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^{-1}+3 = 5

 x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)= \left(\cfrac{1}{2}\right)^{-2}+3 = 7

  \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 4 \\ 1 & 3,5 \\ 2 & 3,25 \\ -1 & 5 \\ -2 & 7 \end{array}

Por último, representamos los puntos obtenidos en la gráfica y trazamos la función:

problema de funcion exponencial

Fíjate que la función por la izquierda crece ilimitadamente hasta el infinito. En cambio, por la derecha la función va decreciendo pero nunca llega a cruzar el 3. Eso es porque la función tiene una asíntota horizontal en y=3.

En este caso la asíntota horizontal está en y=3 en vez del eje X porque se ha desplazado verticalmente la función tres unidades hacia arriba.

 

Ejercicio 4

Resuelve el siguiente problema sobre las funciones exponenciales.

  • Determina el valor de  k para que la siguiente función exponencial pase por el punto (2,8).

 f(x)=k\cdot 2^x

La función debe pasar por el punto (2,8), por tanto, podemos sustituir los valores de x y de f(x) del punto en la función para hallar el valor de la constante k:

 f(x)=k\cdot 2^x \ \xrightarrow{x \ = \ 2 \ ; \ f(x) \ = \ 8} \ 8 = k \cdot 2^2

Y ahora resolvemos la ecuación resultante:

 8 = k \cdot 2^2

 8 = k \cdot 4

 \cfrac{8}{4} = k

 \bm{ 2 = k}

 

Ejercicio 5

Resuelve el siguiente problema sobre las funciones exponenciales.

Una población de termitas se reproduce según la siguiente función:

 f(t)=3^{t+1}

Donde  f(t) es el número de termitas y  t el tiempo transcurrido en meses.

¿Cuántas termitas habrá al cabo de 1 año?

Para calcular las termitas que habrá en un año lo único que debemos hacer es sustituir el tiempo transcurrido (1 año) en la función. Pero como en la función son los meses transcurridos y no los años, tenemos que poner t=12 ya que en un año hay 12 meses:

 f(t)=3^{t+1}

 f(12)=3^{12+1}

 f(12)=3^{13}

Resolvemos con la calculadora:

 f(12)= 1594323

De manera que al cabo de un año habrá 1 594 323 termitas.

 

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