▷ Función primitiva

En este artículo encontrarás qué es la función primitiva, cómo se calcula y, además, un ejercicio resuelto en el que se determina la primitiva de una función para que puedas asimilar el concepto por completo.

Índice

¿Qué es la función primitiva?

La función primitiva es aquella función opuesta a la derivada. Es decir, la función primitiva de una función es aquella función cuya derivada da como resultado la función original.

En general, la función primitiva de la función f(x) se denota como F(x)+C, donde C es la constante de integración.

$\cfrac{dF(x)}{dx}=f(x)$

$\displaystyle \int f(x) \ dx =F(x)+C$

Por ejemplo, la derivada de x al cuadrado (x²) es 2x. Por lo tanto, esto significa que la función primitiva de 2x es x²+C.

$\cfrac{d(x^2)}{dx}=2x$

$\displaystyle \int 2x \ dx =x^2+C$

Formalmente, se define que la función F(x) es una función primitiva de la función f(x) si se cumple que la derivada de F(x) evaluada en cualquier punto es equivalente al valor de f(x) en ese mismo punto.

$F'(x)=f(x) \quad \forall x \in D_f$

Ten presente que la función primitiva también se conoce como antiderivada.

➤ Ver: Integrales

Cómo calcular la función primitiva

Para hallar la función primitiva de una función no existe un procedimiento específico, sino que simplemente se debe resolver la integral de dicha función.

Así pues, las principales fórmulas para resolver integrales y así calcular la primitiva de una función son las siguientes:

Integral de una constante:

$\displaystyle\int k \ dx=kx+C$

Integral de una potencia:

$\displaystyle\int x^ndx=\cfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Integrales de funciones exponenciales:

$\displaystyle \int e^x dx=e^x+C$

$\displaystyle \int a^x dx=\cfrac{a^x}{\ln a}+C$

Integrales logarítmicas:

$\displaystyle\int\frac{1}{x}\ dx= \ln|x| + C$

$\displaystyle\int\ln(x)\ dx= x\cdot \ln(x) -x+ C$

$\displaystyle\int\log_a(x)\ dx= \frac{x}{\ln(a)}\cdot \bigl(\ln(x)-1\bigr)+ C$

Integrales trigonométricas:

$\displaystyle\int\text{sen}(x)\ dx=-\text{cos}(x)+C$

$\displaystyle\int\text{cos}(x)\ dx=\text{sen}(x)+C$

$\displaystyle\int\text{tan}(x)\ dx=-\ln |cos(x)|+C$

Si te fijas, el resultado de cualquier integral indefinida incluye una constante de integración (C), la cual puede tomar cualquier valor real.

En este post te mostramos solo las fórmulas de las funciones más utilizadas, para ver cuáles son todas las fórmulas de las integrales haz clic aquí:

➤ Ver: Tabla de integrales

Ejemplo del cálculo de una función primitiva

Calcula la función primitiva de la función exponencial f(x)=e^x cuya gráfica pasa por el punto P(0,2).

Para resolver este problema lo primero que debemos hacer es integrar la función exponencial e^x:

$\displaystyle F(x)=\int e^x\ dx=e^x+C$

De modo que ahora solo nos queda hallar el valor de la constante de integración para determinar la función primitva. Para ello, sustituimos las coordenadas del punto dado en la función y resolvemos la ecuación resultante:

$\displaystyle F(0)=2$