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Derivada del coseno hiperbólico

En este post te explicamos cómo derivar el coseno hiperbólico de una función. Además, encontrarás ejemplos de derivadas de cosenos hiperbólicos y, finalmente, te demostraremos la fórmula de este tipo de derivada trigonométrica.

Fórmula de la derivada del coseno hiperbólico

La derivada del coseno hiperbólico de x es el seno hiperbólico de x.

f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)

Por lo tanto, la derivada del coseno hiperbólico de una función es igual al producto del seno hiperbólico de la función por la derivada de esa función.

f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'

La segunda fórmula es idéntica a la primera, lo único diferente es que en la segunda se aplica la regla de la cadena. De manera que la primera fórmula solamente se puede utilizar para derivar el coseno hiperbólico de x, mientras que la segunda fórmula sirve para derivar el coseno hiperbólico de cualquier tipo de función.

Como puedes comprobar, la fórmula de la derivada del coseno hiperbólico es diferente a la fórmula de la derivada del coseno, aunque comparten algunas similitudes.

Ver: fórmula de la derivada del coseno

Ejemplos de la derivada del coseno hiperbólico

Vista cuál es la fórmula de la derivada del coseno hiperbólico, a continuación resolvemos varios ejemplos de derivadas de este tipo de funciones trigonométricas. Recuerda que puedes preguntar cualquier duda que te surja en los comentarios.

Ejemplo 1: Derivada del coseno hiperbólico de 2x

f(x)=\text{cosh}(2x)

En este ejemplo tenemos en el argumento del coseno hiperbólico una función diferente de x, así que debemos emplear la fórmula de la derivada del coseno hiperbólico con la regla de la cadena:

f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'

La derivada de 2x es 2, por lo que la derivada del coseno hiperbólico de 2x es el seno hiperbólico de 2x multiplicado por 2.

f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)

Ejemplo 2: Derivada del coseno hiperbólico de x al cuadrado

f(x)=\text{cosh}(x^2)

Como hemos visto más arriba, la regla de la derivada de la función coseno hiperbólico es:

f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'

Entonces, derivamos por un lado la función cuadrática x2, que da 2x, y luego calculamos la derivada de toda la función:

f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x

Demostración de la fórmula de la derivada del coseno hiperbólico

Por último, te demostraremos la fórmula de la derivada del coseno hiperbólico para que puedas ver de dónde proviene. Si empezamos con la expresión del coseno hiperbólico:

\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}

Derivamos en los dos lados de la expresión:

\displaystyle\bigl(\text{cosh}(x)\bigr)'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'

En el lado derecho tenemos una división, así que aplicamos la fórmula de la derivada de un cociente para hallar la derivada:

\displaystyle\text{cosh}'(x)=\frac{(e^x-e^{-x})\cdot 2}{2^2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

Ver: regla de la derivada de un cociente

Si te fijas bien, la expresión obtenida corresponde a la del seno hiperbólico, lo que significa que la siguiente igualdad es equivalente:

\displaystyle\text{cosh}'(x)=\text{senh}(x)

Y así hemos logrado llegado a la regla de la derivada del coseno hiperbólico, por lo que queda demostrada.

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