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Asíntota vertical

Aquí encontrarás qué son las asíntotas verticales de una función (con ejemplos). También te explicamos cómo hallar las asíntotas verticales de una función y, además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué es una asíntota vertical?

Una asíntota vertical de una función es una recta vertical a la cual su gráfica se va aproximando indefinidamente sin llegar nunca a cruzarla. Por lo tanto, la ecuación de una asíntota vertical es x=k, donde k es el valor de la asíntota vertical.

Es decir, k es una asíntota vertical si el límite de la función cuando x tiende a k es infinito.

qué son las asíntotas verticales

Cómo calcular la asíntota vertical de una función

Para calcular la asíntota vertical de una función, se deben seguir los siguientes pasos:

  1. Hallar el dominio de la función. Si todos los puntos pertenecen al dominio, la función no tiene asíntotas verticales.
  2. Calcular el límite de la función en los puntos que no son del dominio.
  3. Las asíntotas verticales de la función serán todos aquellos valores en los que el límite dé infinito.

Ten en cuenta que una función puede tener más de una asíntota vertical. Por ejemplo, la gráfica de la función tangente tiene infinitas asíntotas verticales.

Ver: características de la función tangente

Ejemplo de asíntota vertical

A modo de ejemplo, vamos a encontrar todas las asíntotas de la siguiente función racional para que veas cómo se hace:

f(x)=\cfrac{1}{x-2}

En general, los puntos donde hay asíntotas verticales no pertenecen al dominio de la función. Por lo tanto, primero calcularemos el dominio de la función.

Se trata de una función racional, así que miramos cuándo se anula el denominador para determinar los puntos que no pertenecen al dominio:

x-2=0

x=2

Por tanto, el dominio de la función son todos los números reales excepto x=2:

\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{2\}

De modo que x=2 podría ser una asíntota vertical de la función. Para comprobarlo, debemos calcular el límite de la función en este punto:

\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}=\frac{1}{2-2}=\frac{1}{0}=\infty

En este caso, hemos obtenido la indeterminación de un número entre cero y, por tanto, para resolver el límite deberíamos calcular los límites laterales para saber si es más infinito, menos infinito o no existe el límite. Sin embargo, cuando calculamos asíntotas verticales no necesitamos hacer los límites laterales, sino que obtener esta indeterminación es suficiente para afirmar que es una asíntota vertical.

En definitiva, como el límite de la función cuando x tiende a 2 da infinito, x=2 es una asíntota vertical.

A continuación tienes la función representada gráficamente. Como puedes ver, se va acercando mucho a la recta x=2 (tanto por la izquierda como por la derecha) pero nunca la llega a cortar porque es una asíntota vertical:

ejemplo de asíntota vertical

Además, podemos deducir los límites laterales de la función en el punto x=2 a partir de la gráfica:

\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty \qquad  \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = +\infty

Ejercicios resueltos de asíntotas verticales

Ejercicio 1

Calcula la asíntota vertical de la siguiente función racional:

\displaystyle f(x)=\frac{3x-1}{2x-1}

No existe ninguna fórmula para calcular las asíntotas verticales de una función, sino que debemos hallar el dominio de la función y ver en qué puntos en los que la función no está definida el límite da infinito.

Por tanto, igualamos el denominador de la función racional a 0 para encontrar los puntos que no pertenecen al dominio:

 2x -1 =0

 2x= 1

 x = \cfrac{1}{2}

De manera que el dominio de la función son todos los números reales menos x=1/2:

\text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{ \cfrac{1}{2} \right\}

Así que x=1/2 podría ser una asíntota vertical. Para comprobarlo, calculamos el límite de la función en este punto:

 \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} } \cfrac{3x-1}{2x-1} = \cfrac{3\cdot\cfrac{1}{2}-1}{2\cdot\cfrac{1}{2}-1} = \cfrac{ \cfrac{3}{2} -1 }{\cfrac{2}{2} -1 } = \cfrac{ \cfrac{1}{2} }{1-1}=\cfrac{\cfrac{1}{2}}{0} =\infty

Entonces, x=1/2 es una asíntota vertical, ya que el límite de la función en este punto da infinito.

 

Ejercicio 2

Halla todas las asíntotas verticales de la siguiente función fraccionaria:

\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x^2-9}

En primer lugar, igualamos el denominador de la fracción a cero para ver qué valores no forman parte del dominio de la función:

x^2-9=0

Resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

x^2=9

x=\pm 3

De manera que el dominio de la función racional es:

\text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{3, -3\right\}

Así pues, para determinar cuáles de estos dos valores son asíntotas verticales, resolvemos el límite de la función en cada punto:

\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{2x+1}{x^2-9}=\frac{2\cdot3+1}{3^2-9}=\frac{7}{9-9}=\frac{7}{0}=\infty

\displaystyle\lim_{x \to -3}\frac{2x+1}{x^2-9}=\frac{2\cdot(-3)+1}{(-3)^2-9}=\frac{-5}{9-9}=\frac{-5}{0}=\infty

Ambos límites dan infinito, por lo que x=3 y x=-3 son las dos asíntotas verticales de la función del problema.

 

Ejercicio 3

Encuentra, si tiene, todas las asíntotas verticales de la siguiente función racional:

\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x^2+2x-3}

Ver: indeterminación cero entre cero

Primero de todo, resolvemos la ecuación de segundo grado del denominador para encontrar los valores que anulan el denominador de la fracción:

x^2+2x-3=0

\begin{aligned}\displaystyle x&=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\cfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\\[3ex]\displaystyle &=\cfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2\pm 4}{2}=\begin{cases}\cfrac{-2+4}{2}=1\\[3ex]\cfrac{-2-4}{2}=-3\end{cases}\end{aligned}

De forma que el dominio de la función es:

\text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{1, -3\right\}

Entonces, calculamos primero el límite de la función en x=1:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x+3}{x^2+2x-3}=\frac{1+3}{1^2+2\cdot 1-3}=\frac{4}{0}=\infty

Y, por otro lado, resolvemos el límite de la función cuando x tiende a -3:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to -3}\frac{x+3}{x^2+2x-3}=\frac{-3+3}{(-3)^2+2\cdot(-3)-3}=\frac{0}{0}=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x \to -3}\frac{\cancel{x+3}}{(x-1)\cancel{(x+3)}}=\lim_{x \to -3}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{-3-1}=-\frac{1}{4}\end{array}

El límite anterior da la forma indeterminada cero entre cero, así que para resolverlo necesitamos factorizar los polinomios. Si tienes alguna duda de cómo hemos resuelto el límite, puedes ver la explicación entera de cómo resolver este tipo de indeterminación en el enlace del enunciado del ejercicio.

En este caso solo da infinito el límite de la función en el punto x=1, por lo tanto, x=1 es la única asíntota vertical de la función.

 

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