Área bajo la curva

En este artículo te explicamos cómo se calcula el área bajo una curva y, además, podrás ver varios ejercicios resueltos para entender perfectamente cómo se hace.

Cómo calcular el área bajo una curva

Para calcular el área bajo una curva en un intervalo se debe resolver la integral definida de la función que describe dicha curva en ese intervalo.

Por lo tanto, primero se debe integrar la curva, luego evaluar la función primitiva en los extremos del intervalo y, finalmente, restar los resultados obtenidos.

Nota: existen otros métodos que permiten hacer una aproximación del área bajo una curva, por ejemplo, se puede aproximar el área a una suma de rectángulos (suma de Riemann). No obstante, para determinar el valor exacto del área bajo una función se debe utilizar el método que se explica en este post, es decir, se debe resolver la integral definida.

Así pues, para poder hallar el área bajo una curva debes saber cómo se resuelven las integrales definidas, si no sabes cómo se hace o tienes dudas te recomendamos que visites el siguiente enlace antes de seguir con la explicación:

➤ Ver: Cómo resolver una integral definida

Ejemplo del cálculo del área bajo una curva

En este apartado veremos un ejemplo resuelto en el que se calcula el área bajo una curva, de este modo podrás ver cómo se hace.

• Calcula el área bajo la función f(x)=5 en el intervalo [1,3].

Para sacar el área bajo la curva que nos pide el problema tenemos que resolver la integral definida de la función en el intervalo deseado:

Así pues, para solucionar la integral definida tenemos que aplicar la fórmula de la regla de Barrow:

Por lo tanto, el área bajo la función en el intervalo que nos pedía el ejercicio es de 10 unidades cuadradas.

Como puedes ver en la imagen anterior, tanto si hacemos el cálculo del área utilizando la fórmula del área de un cuadrado como si hacemos el cálculo mediante una integral definida llegamos al mismo resultado, por lo que este método nos proporciona un resultado fiable.

Área de una función negativa

En ocasiones, puede que la curva bajo la cual queremos calcular el área sea una función negativa, de manera que en este caso el área que queremos determinar es aquella comprendida entre la función y el eje X.

Así pues, cuando queremos calcular el área de una función que tiene tramos en los que es negativa y otros tramos en los que es positiva, tenemos que resolver las integrales definidas de los tramos que es positiva y luego calcular el valor absoluto de las integrales definidas de los tramos que es negativa.

Para que puedas ver cómo se calcula el área bajo este tipo de funciones, vamos a resolver un ejercicio paso a paso.

• Calcula el área entre la curva definida por la función f(x)=2x-2 y el eje de las abscisas en el intervalo [-2,5].

En primer lugar, tenemos que ver cuándo la gráfica de la función pasa por debajo del eje X. Para ello, igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación resultante:

Ahora evaluamos cualquier punto a la izquierda del punto obtenido y, asimismo, cualquier punto a su derecha:

A la izquierda de x=1 hemos obtenido un valor negativo, esto significa que en los puntos menores que x=1 la función es negativa. Por otro lado, a la derecha de x=1 hemos obtenido un valor positivo, por lo que en los puntos mayores que x=1 la función es positiva.

Por lo tanto, para calcular el área entre la gráfica de la función y el eje X tenemos que separar la integral definida por intervalos según si la función es positiva o negativa y, además, aplicar el valor absoluto en aquellos tramos en los que la gráfica es negativa:

Resolvemos las integrales definidas:

De modo que el área entre la función y el eje X en este intervalo es de 25 unidades cuadradas.