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Límites trigonométricos

Aquí encontrarás cómo resolver los límites trigonométricos. Podrás ver varios ejemplos de límites de funciones trigonométricas e, incluso, practicar con ejercicios resueltos paso a paso de límites trigonométricos.

¿Qué son los límites trigonométricos?

Los límites trigonométricos son límites que se calculan sobre funciones trigonométricas. Para resolver límites trigonométricos se debe aplicar un procedimiento previo, ya que suelen dar indeterminaciones.

Además, los límites al infinito de las funciones trigonométricas no existen, porque son funciones periódicas. Es decir, sus gráficas se van repitiendo continuamente de manera periódica sin tender a ningún valor concreto.

Fórmulas de los límites trigonométricos

Todos los límites trigonométricos se calculan a partir de las siguientes dos fórmulas:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1

Si intentamos hacer el cálculo del límite por sustitución, obtenemos la indeterminación cero entre cero:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=\frac{\text{sen}(0)}{0}=\frac{0}{0}

Pero esta fórmula trigonométrica se puede demostrar calculando valores de la función cada vez más próximos a x=0 (ángulos en radianes).

\displaystyle f(x)=\frac{\text{sen}(x)}{x}=1

\begin{array}{c}\begin{array}{l}f(-1)=\cfrac{\text{sen}(-1)}{-1}=0,84147\\[3ex]f(-0,1)=\cfrac{\text{sen}(-0,1)}{-0,1}=0,99833\\[3ex]f(-0,01)=\cfrac{\text{sen}(-0,01)}{-0,01}=0,99998\\[3ex]f(-0,001)=\cfrac{\text{sen}(-0,001)}{-0,001}=0,99999\end{array}\\[14ex]\vdots\\[2ex]\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\end{array}

\begin{array}{c}\begin{array}{l}f(1)=\cfrac{\text{sen}(1)}{1}=0,84147\\[3ex]f(0,1)=\cfrac{\text{sen}(0,1)}{0,1}=0,99833\\[3ex]f(0,01)=\cfrac{\text{sen}(0,01)}{0,01}=0,99998\\[3ex]f(0,001)=\cfrac{\text{sen}(0,001)}{0,001}=0,99999\end{array}\\[14ex]\vdots\\[2ex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\end{array}

Los dos límites laterales de la función trigonométrica dan 1, por lo tanto, el límite en el punto x=0 es 1:

\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{\text{sen}(x)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\\[3ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[2ex]\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\end{array}

Así que el límite trigonométrico del seno de x partido por x cuando x tiende a 0 es igual a 1.

Esta fórmula también se puede aplicar para ángulos múltiplos:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(kx)}{kx}=1

 

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0

Si tratamos de hallar el límite por sustitución directa, obtenemos la forma indeterminada cero entre cero:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=}\frac{1-\text{cos}(0)}{0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}

Pero podemos comprobar la igualdad a partir de la fórmula demostrada arriba. Para ello, primero tenemos que multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por 1 más el coseno de x:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\bigl(1-\text{cos}(x)\bigr)\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}

Ahora tenemos una identidad notable en el numerador de la fracción, así que la podemos simplificar:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1^2-\text{cos}^2(x)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}^2(x)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}

A partir de la identidad trigonométrica fundamental, reescribimos el numerador:

\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)=1 \ \longrightarrow \ \text{sen}^2(x)=1-\text{cos}^2(x)

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}^2(x)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}

De modo que podemos transformar la fracción en un producto de fracciones:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)\cdot \text{sen}(x)}{x\cdot \bigl(1+\text{cos}(x)\bigr)}

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot \frac{\text{sen}(x)}{1+\text{cos}(x)}

Utilizando las propiedades de los límites, podemos convertir la expresión anterior en un producto de límites:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{1+\text{cos}(x)}

Gracias a la fórmula demostrada arriba, podemos simplificar fácilmente el límite trigonométrico:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1

\displaystyle 1\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{1+\text{cos}(x)}

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{1+\text{cos}(x)}

Y, finalmente, hacemos el cálculo del límite resultante:

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(0)}{1+\text{cos}(0)}=\frac{0}{1+1}=\frac{0}{2}=0

Por lo que queda verificada la fórmula del límite trigonométrico:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0

Al igual que con la otra fórmula, también se puede utilizar para ángulos múltiplos:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(kx)}{kx}=0

 

Por lo tanto, para resolver los límites trigonométricos debemos utilizar la aritmética para transformar las funciones y conseguir expresiones similares a estas. De este modo, podremos emplear alguna de las dos fórmulas y hallar el valor del límite.

Por otro lado, a veces podemos necesitar aplicar alguna de las identidades trigonométricas, por lo que te dejamos todas las fórmulas a continuación

Fórmula que relaciona las tres razones trigonométricas principales:

\text{tan}(x)=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}

Identidad trigonométrica fundamental:

\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)=1

Relaciones trigonométricas derivadas de la fundamental:

1+\text{tan}^2 (x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}=\text{sec}^2(x)

 1+\text{cot}^2 (x)=\cfrac{1}{\text{sen}2(x)}=\text{cosec}^2(x)

Ángulos opuestos:

\text{sen}(-x)=-\text{sen}(x)

 \text{cos}(-x)=\text{cos}(x)

\text{tan}(-x)=-\text{tan}(x)

Suma de dos ángulos:

\text{sen}(x+y)=\text{sen}(x)\text{cos}(y)+\text{cos}(x)\text{sen}(y)

\text{cos}(x+y)=\text{cos}(x)\text{cos}(y)-\text{sen}(x)\text{sen}(y)

\text{tan}(x+y)=\cfrac{\text{tan}(x)+\text{tan}(y)}{1-\text{tan}(x)\text{tan}(y)}

Diferencia de dos ángulos:

 \text{sen}(x-y) = \text{sen}(x)\text{cos}(y)-\text{cos}(x)\text{sen}(y)

\text{cos}(x-y) = \text{cos}(x)\text{cos}(y)+ \text{sen}(x) sen(y)

\text{tan}(x-y)=\cfrac{\text{tan}(x)-\text{tan}(y)}{1+\text{tan}(x)\text{tan}(y)}

Ángulo doble:

 \text{sen}(2x) = 2\text{sen}(x)\text{cos}(x)

\text{cos}(2x) =\text{cos}^2(x)-\text{sen}^2(x)

 \text{tan}(2x) =\cfrac{2\text{tan}(x)}{1-\text{tan}^2(x)}

Ángulo mitad:

 \displaystyle \text{sen}\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-\text{cos}(x)}{2}}

 \displaystyle \text{cos}\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1+\text{cos}(x)}{2}}

\displaystyle\text{tan}\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-\text{cos}(x)}{1+\text{cos}(x)}}

Suma y resta de senos y cosenos:

 \displaystyle \text{sen}(x)+\text{sen}(y)=2\text{sen}\left(\frac{x+y}{2} \right)\text{cos}\left(\frac{x-y}{2} \right)

 \displaystyle \text{sen}(x)-\text{sen}(y)=2\text{cos}\left(\frac{x+y}{2} \right)\text{sen}\left(\frac{x-y}{2} \right)

 \displaystyle \text{cos}(x)+\text{cos}(y)=2\text{cos}\left(\frac{x+y}{2} \right)\text{cos}\left(\frac{x-y}{2} \right)

 \displaystyle \text{cos}(x)-\text{cos}(y)=-2\text{sen}\left(\frac{x+y}{2} \right)\text{sen}\left(\frac{x-y}{2} \right)

Producto de senos y cosenos:

 \displaystyle \text{sen}(x)\cdot \text{sen}(y)=\frac{1}{2}\Bigl[\text{cos}(x-y)-\text{cos}(x+y)\Bigr]

 \displaystyle \text{cos}(x)\cdot \text{cos}(y)=\frac{1}{2}\Bigl[\text{cos}(x+y)+\text{cos}(x-y)\Bigr]

 \displaystyle \text{sen}(x)\cdot \text{cos}(y)=\frac{1}{2}\Bigl[\text{sen}(x+y)+\text{sen}(x-y)\Bigr]

 

Para que puedas ver exactamente cómo se calculan los límites trigonométricos, a continuación hemos resuelto un ejemplo paso a paso.

Ejemplo de límite trigonométrico

Vamos a ver cómo se resuelve un límite trigonométrico haciendo el siguiente ejemplo:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)}{x}

Al intentar hacer el cálculo del límite trigonométrico, se obtiene la indeterminación de cero entre cero:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)}{x}=\frac{\text{tan}(0)}{0}=\frac{0}{0}

Ver: límites cero entre cero

De modo que debemos transformar la función trigonométrica para resolver el límite. La función tangente es igual al seno partido por el coseno, por tanto:

\text{tan}(x)=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}{x}

Ahora podemos expresar la función en forma de producto aplicando las propiedades de las fracciones:

\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{b}}{\displaystyle\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}{\displaystyle\frac{x}{1}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\text{sen}(x)\cdot 1}{\text{cos}(x) \cdot x}=\\[6ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}{\frac{\text{sen}(x)}{x\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot \frac{1}{\text{cos}(x)}\end{array}

Usando las propiedades de los límites, podemos convertir el límite de dos funciones multiplicadas en el producto de dos límites:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}

Tal y como hemos demostrado más arriba, el primer límite trigonométrico da 1:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}=1\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}

Por lo que solamente debemos hacer el siguiente cálculo:

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}=\frac{1}{\text{cos}(0)}=\frac{1}{1}=1

Ejercicios resueltos de límites trigonométricos

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente límite trigonométrico:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{2x}

Primero de todo, intentamos calcular el límite trigonométrico por evaluación directa:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{2x}=\frac{\text{sen}(4\cdot 0)}{2\cdot 0}=\frac{0}{0}

Pero obtenemos la indeterminación cero sobre cero. Por lo tanto, tenemos que aplicar transformaciones a la función.

En primer lugar, dejaremos en el denominador solo la x haciendo los siguientes pasos:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot\frac{\text{sen}(4x)}{x}=\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{x}

Ahora multiplicamos y dividimos la fracción por 4 para obtener una expresión con la que se pueda aplicar la primera fórmula de los límites trigonométricos:

\displaystyle\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)\cdot 4}{x\cdot 4}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{4x}=2\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{4x}

Finalmente, aplicamos la fórmula vista al principio y resolvemos el límite trigonométrico:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(kx)}{kx}=1

\displaystyle 2\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{4x}=2\cdot 1=\bm{2}

 

Ejercicio 2

Calcula el siguiente límite trigonométrico:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)+\text{tan}(x)}{x}

En primer lugar, intentamos hallar el límite trigonométrico:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)+\text{tan}(x)}{x}=\frac{\text{sen}(0)+\text{tan}(0)}{0}=\frac{0}{0}

Pero se consigue la forma indeterminada cero partido cero.

Entonces, convertimos la tangente en el cociente del seno y el coseno:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)+\text{tan}(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\text{sen}(x)+\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}{x}

Multiplicamos y dividimos por el coseno de x:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(\displaystyle\text{sen}(x)+\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\right)\cdot\text{cos}(x)}{x\cdot\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(x)+\text{sen}(x)}{x\cdot\text{cos}(x)}

Sacamos factor común en el numerador y separamos el límite trigonométrico en dos:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(x)+1)}{x\cdot\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{cos}(x)+1}{\text{cos}(x)}

Y, por último, hallamos el resultado del límite trigonométrico:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{cos}(x)+1}{\text{cos}(x)}=1\cdot\frac{\text{cos}(0)+1}{\text{cos}(0)} =\frac{1+1}{1}=\bm{2}

 

Ejercicio 3

Resuelve el límite de la siguiente función trigonométrica cuando x tiende a cero:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)-\text{sen}{(x)}}{3x\cdot\text{tan}(x)}

Al hacer el cálculo directo obtenemos el límite indeterminado 0 entre 0:

\displaystyle\lim_{x\to 0}}\frac{\text{tan}(x)-\text{sen}(x)}{3x\cdot\text{tan}(x)}=\frac{\text{tan}(0)-\text{sen}(0)}{3\cdot 0\cdot\text{tan}(0)}=\frac{0}{0}

Así pues, simplificaremos el límite dividiendo cada término entre la tangente de x:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\text{tan}(x)}{\text{tan}(x)}-\frac{\text{sen}(x)}{\text{tan}(x)}}{\displaystyle\frac{3x\cdot\text{tan}(x)}{\text{tan}(x)}}=\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle 1-\frac{\text{sen}(x)}{\text{tan}(x)}}{3x}

En segundo lugar, podemos deducir de la identidad trigonométrica fundamental que la fracción del numerador equivale al coseno de x:

\text{tan}(x)=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ \longrightarrow \ \text{cos}(x)=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{tan}(x)}

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle 1-\frac{\text{sen}(x)}{\text{tan}(x)}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{3x}

Y aplicando la segunda fórmula demostrada en la teoría de los límites trigonométricos, podemos resolver el límite fácilmente:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{3}\cdot \frac{1-\text{cos}(x)}{x}=\\[4ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=\frac{1}{3}\cdot 0=\bm{0}\end{array}

 

Ejercicio 4

Determina la solución del siguiente límite trigonométrico en el punto x=0:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2\text{sen}(x)\text{cos}(x)\text{sen}(5x)}{x^2}

Si intentamos resolver el límite nos encontramos con la forma indeterminada 0/0:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2\text{sen}(x)\text{cos}(x)\text{sen}(5x)}{x^2}=\frac{2\text{sen}(0)\text{cos}(0)\text{sen}(5\cdot 0)}{0^2}=\frac{0}{0}

La expresión algebraica del numerador se puede reescribir utilizando la identidad trigonométrica del seno de un ángulo doble:

\text{sen}(2x)=2\text{sen}(x)\text{cos}(x)

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2\text{sen}(x)\text{cos}(x)\text{sen}(5x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)\text{sen}(5x)}{x^2}

Ahora separamos el límite de la función trigonométrica en un producto:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)\cdot \text{sen}(5x)}{x\cdot x}=\\[4ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{x}\cdot\frac{\text{sen}(5x)}{x}=\\[4ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(5x)}{x}\end{array}

Y, para terminar, resolvemos el límite trigonométrico aplicando las propiedades de los límites:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(5x)}{x}=\\[4ex]\displaystyle =2\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{2x}\cdot 5\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(5x)}{5x}=\\[4ex]\displaystyle =2\cdot 1\cdot 5\cdot 1=\bm{10}\end{array}

 

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