▷ Integral con valor absoluto

En este post te explicamos cómo se resuelve una integral con valor absoluto y, además, podrás ver un ejercicio resuelto paso a paso de este tipo de integrales.

Índice

Cómo resolver una integral con valor absoluto

Los pasos para resolver una integral definida con valor absoluto son los siguientes:

$\displaystyle\int_a^b \lvert f(x) \rvert \ dx$

Lo primero que debemos hacer para resolver una integral con valor absoluto es definir a trozos la función.

$\displaystyle \lvert f(x) \rvert = \left\{ \begin{array}{lcl} -f(x) & \text{si} & x<c \\[2ex] f(x) & \text{si} & x\geq c \end{array} \right.$

En segundo lugar, descomponemos la integral en diferentes integrales definidas, de manera que cada integral corresponde a un tramo de la función.

$\displaystyle\int_a^b \lvert f(x) \rvert \ dx =\int_a^c -f(x) \ dx +\int_c^b f(x) \ dx$

Finalmente, solo nos queda resolver cada integral definida y sumar los resultados de las diferentes integrales definidas.

➤ Ver: ¿Qué son las integrales definidas?

Ejemplo resuelto de una integral con valor absoluto

Para que puedas ver cómo se calcula una integral de valor absoluto, a continuación te dejamos un ejercicio resuelto paso a paso.

$\displaystyle\int_{-1}^4 \lvert x-1 \rvert \ dx$

La integral definida de este problema tiene un valor absoluto, por lo tanto, para resolverla primero tenemos que expresarla como una función definida a trozos. Para ello, igualamos el interior del valor absoluto a cero y resolvemos la ecuación:

$x-1=0$

$x=1$

Así pues, la función es negativa para valores menores de x=1 y, por otro lado, la función es positiva para valores mayores que x=1. De modo que tenemos que cambiar de signo a la función para el primer tramo:

$\displaystyle \lvert x-1 \rvert = \left\{ \begin{array}{lcl} -(x-1)<1 & \text{si} & x<1\\[2ex] x-1 & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{lcl} -x+1 & \text{si} & x<1 \\[2ex] x-1 & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Entonces, descomponemos la integral del ejercicio en dos integrales, una para cada tramo:

$\displaystyle\int_{-1}^4 \lvert x-1 \rvert \ dx =\int_{-1}^1 (-x+1)\ dx+\int_1^4 (x-1)\ dx$

Y finalmente resolvemos las integrales definidas:

$\begin{aligned}&\displaystyle \int_{-1}^1 (-x+1)\ dx+\int_1^4 (x-1)\ dx=\\[2ex]&=\left[\frac{-x^2}{2}+x\right]_{-1}^1+\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^4=\\[2ex]&=\frac{-1^2}{2}+1-\left(\frac{-(-1)^2}{2}-1\right)+\frac{4^2}{2}-4-\left(\frac{1^2}{2}-1\right)=\\[2ex]&=-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}+1+8-4-\frac{1}{2}+1=\\[2ex]&=\frac{13}{2}\end{aligned}$

Cómo resolver una integral con valor absoluto

Ejemplo resuelto de una integral con valor absoluto

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