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Derivada del arcocoseno

Aquí te explicamos cómo derivar el arcocoseno de una función. Además, encontrarás ejemplos de derivadas del arcocoseno y podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso. Por último, te mostramos la demostración de la fórmula de la derivada del arcocoseno.

¿Cuál es la derivada del arcocoseno?

La derivada del arcocoseno de x es menos uno partido por la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado.

f(x)=\text{arccos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Por lo tanto, la derivada del arcocoseno de una función es igual a menos el cociente de la derivada de esa función dividido entre la raíz cuadrada de uno menos dicha función al cuadrado.

f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}

En realidad, la primera fórmula se obtiene sustituyendo u por x en la segunda fórmula. Así que, a modo de resumen, la fórmula de la derivada del coseno inverso es:

derivada del arcocoseno

Como puedes ver, la fórmula de la derivada del arcocoseno es como la derivada del arcoseno, pero añadiendo un negativo delante.

Ejemplos de la derivada del arcocoseno

Vista la fórmula de la derivada de la función arcocoseno, pasamos a analizar varios ejemplos de este tipo de derivadas trigonométricas. De esta forma te será más fácil entender cómo se deriva el arcocoseno de una función.

Ejemplo 1: Derivada del arcocoseno de 2x

f(x)=\text{arccos}(2x)

Para resolver la derivada del arcocoseno, empleamos su fórmula:

f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}

La derivada de 2x es 2, así que la derivada del arcocoseno de 2x es menos 2 partido por la raíz de uno menos 2x al cuadrado:

f(x)=\text{arccos}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=-\cfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}

Ejemplo 2: Derivada del arcocoseno de x al cuadrado

f(x)=\text{arccos}(x^2)

Aplicamos la fórmula de la derivada del arcocoseno con la regla de la cadena para calcular la derivada:

f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}

Como la derivada de la función x2 es 2x, la derivada del arcocoseno de x elevada a la 2 es la siguiente:

f(x)=\text{arccos}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{\sqrt{1-\left(x^2\right)^2}}=-\cfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}

Ejemplo 3: Derivada del arcocoseno de un logaritmo

f(x)=\text{arccos}\bigl(\ln (x)\bigr)

La función de este ejemplo se trata de una función compuesta por un arcocoseno y un logaritmo natural, así que tenemos que usar la regla de la cadena para hacer su derivación.

f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}

La derivada del logaritmo neperiano es uno partido por x, por lo tanto, la derivada de toda la función es:

f(x)=\text{arccos}\bigl(\ln (x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{\cfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\left(\ln(x)\right)^2}}=\cfrac{1}{x\sqrt{1-\ln^2(x)}}

Ejercicios resueltos de la derivada del arcocoseno

Deriva las siguientes funciones arcocoseno:

\text{A) }f(x)=\text{arccos}(7x)

\text{B) }f(x)=\text{arccos}(x^3+6x)

\text{C) }f(x)=\text{arccos}^3\left(e^{3x}\right)

\text{D) }f(x)=\text{arccos}\left(\log_3(x^3)\right)

\text{E) }f(x)=\text{arccos}\left(\sqrt{4x}\right)

\text{A) }f'(x)=-\cfrac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}=-\cfrac{7}{\sqrt{1-49x^2}}

\text{B) }f'(x)=-\cfrac{3x^2+6}{\sqrt{1-(x^3+6x)^2}}

\begin{aligned}\text{C) }\displaystyle f'(x)&=3\text{arccos}^2\left(e^{3x}\right)\cdot \left(-\frac{3e^{3x}}{\sqrt{1-\left(e^{3x}\right)^2}}\right)\\[1.5ex] &=-\cfrac{9\text{arccos}^2\left(e^{3x}\right)\cdot e^{3x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}\end{aligned}

\begin{aligned}\text{D) }f'(x)&=-\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\log_3(3x)\right)^2}}\cdot \cfrac{3}{3x\cdot \ln 3}\\[1.5ex] &=-\cfrac{1}{x\cdot \ln 3\cdot \sqrt{1-\log_3^2(3x)}} \end{aligned}

\begin{aligned}\text{E) } f'(x)& =-\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{4x}\right)^2}}\cdot \cfrac{4}{2\sqrt{4x}}\\[1.5ex] &=-\cfrac{2}{\sqrt{1-4x}\cdot 2\sqrt{x}}\\[1.5ex] &=-\cfrac{1}{\sqrt{x-4x^2}} \end{aligned}

 

Demostración de la fórmula de la derivada del arcocoseno

En este apartado demostraremos la fórmula de la derivada del arcocoseno.

y=\text{arccos}(x)

En primer lugar, transformamos el arcocoseno en coseno:

x=\text{cos}(y)

Ahora derivamos en los dos lados de la igualdad:

1=-\text{sen}(y)\cdot y'

Despejamos y’:

y'=-\cfrac{1}{\text{sen}(y)}

Utilizamos la identidad trigonométrica fundamental para cambiar el seno por un coseno:

\text{sen}^2(y)+\text{cos}^2(y)=1 \ \longrightarrow \ \text{sen}(y)=\sqrt{1-\text{cos}^2(y)}

y'=-\cfrac{1}{\sqrt{1-\text{cos}^2(y)}}

Pero arriba hemos deducido que x es igual al coseno de y, de modo que la ecuación queda:

y'=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Y así hemos llegado a la expresión de la derivada del arcocoseno, por lo que queda demostrada su fórmula.

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