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Derivada de una suma

Aquí te explicamos cómo derivar una suma de funciones (fórmula). Además, podrás ver ejemplos de derivadas de sumas e incluso podrás practicar con ejercicios resueltos de la derivada de una suma. Y, por último, encontrarás la demostración de la fórmula de la derivada de una suma.

Fórmula de la derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de la derivada de cada función por separado.

z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)

Es decir, derivar dos funciones por separado y luego sumarlas es equivalente a primero sumar las funciones y luego hacer la derivada.

derivada de una suma

Ten en cuenta que la regla de la derivada de una suma también se aplica para las restas, de modo que si una función tiene un signo negativo delante en lugar de un signo positivo, también debemos utilizar la misma fórmula para hacer la derivación.

z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)

Además, la suma es una operación que posee la propiedad asociativa, lo que significa que es indiferente el número de sumandos que intervengan en la suma, ya que la derivada de toda la función seguirá siendo la adición de la derivada de cada función.

\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}

Ejemplos de la derivada de una suma

Una vez hemos visto cuál es la fórmula de la derivada de una suma, vamos a ver varios ejemplos de derivadas de este tipo de operaciones para entender del todo cómo se derivan las sumas de funciones.

Ejemplo 1: Derivada de una suma de funciones potenciales

f(x)=3x^2+5x

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la derivada de cada función por separado. Por lo tanto, primero calculamos la derivada de cada función por separado:

 \cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x

\cfrac{d}{dx}\ 5x=5

De modo que la derivada de toda la función será la suma de las dos derivadas calculadas:

f'(x)=6x+5

Ejemplo 2: Derivada de una suma de funciones diferentes

f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)

Para derivar la suma de funciones, tenemos que derivar las dos funciones por separado y luego sumarlas. Así que derivamos las funciones:

 \cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)

\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}

Y luego sumamos las dos derivadas halladas:

f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}

Ejemplo 3: Derivada de una suma al cuadrado

f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2

En este caso tenemos una función compuesta, ya que tenemos una suma de funciones elevada a una potencia. Por tanto, tenemos que aplicar la regla de la cadena para derivar toda la función:

f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)

Ver: derivar una potencia

Ejercicios resueltos de derivadas de sumas de funciones

Deriva las siguientes sumas de funciones

\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2

\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x

\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7

\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}

\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3

\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}

\text{A) } f'(x)=18x^2+18x

\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5

\text{C) } f'(x)=6x-4

\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}

\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)

\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}

 

Demostración de la fórmula de la derivada de una suma

En este último apartado vamos a demostrar la fórmula de la derivada de una suma de funciones. Y, para ello, recurriremos a la definición matemática de la derivada, que es la siguiente:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Entonces, sea z la suma de dos funciones distintas:

z(x)=f(x)+g(x)

\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}

Ahora sustituimos z por la suma de las funciones en la expresión del límite:

\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)+g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)+g(x)\bigr]}{h}

\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}

Transformamos la fracción para tener una suma de dos fracciones, cada una correspondiente a cada función sumando:

\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]

Gracias a las propiedades de los límites, podemos separar la expresión anterior en dos límites, ya que el límite de una suma es equivalente a la suma de los límites:

\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}

Y, tal y como hemos visto más arriba en la definición de la derivada, cada límite corresponde a la derivada de una función. Por lo que se cumple la siguiente igualdad:

\displaystyle z'(x)=f'(x)+g'(x)

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