▷ Propiedades de las integrales

En este artículo te explicamos cuáles son todas las propiedades de las integrales. Así pues, encontrarás las propiedades de las integrales indefinidas y de las integrales definidas y, además, podrás ver ejemplos de la aplicación de las propiedades.

Índice

¿Cuáles son las propiedades de las integrales?

Las propiedades de las integrales son:

Propiedad de la suma: la integral de una suma de funciones es igual a la suma de la integral de cada función por separado.
Propiedad de la multiplicación por una constante: la integral del producto de una constante por una función es equivalente al producto de la constante por la integral de la función.
Propiedad de la desigualdad de funciones: si una función es menor o igual que otra, la integral de la primera función también es menor o igual que la integral de la segunda función.
Propiedad del valor absoluto: el valor absoluto de la integral de una función es menor o igual que la integral del valor absoluto de dicha función.

A continuación te explicamos todas las propiedades de las integrales más detalladamente.

Propiedad de la suma

La integral de una suma de dos o más funciones es igual a la suma de las integrales de cada función por separado. Por lo tanto, podemos primero sumar las funciones y luego hacer la integración o, por otro lado, primero resolver la integral de cada función y luego sumar los resultados obtenidos.

$\displaystyle\int\bigl[f(x)+g(x)\bigr]\ dx=\int f(x)\ dx+\int g(x)\ dx$

Esta propiedad de las integrales también se aplica para la resta de funciones:

$\displaystyle\int\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\ dx=\int f(x)\ dx-\int g(x)\ dx$

Por ejemplo:

$\displaystyle\int\left(x^3+4x\right)\ dx=\int x^3\ dx+\int 4x\ dx$

Propiedad de la multiplicación por una constante

Cuando una función está multiplicada por una constante, podemos sacar la constante fuera de la integral, ya que el resultado es exactamente el mismo.

$\displaystyle\int k\cdot f(x)\ dx=k\int f(x)\ dx$

Por ejemplo:

$\displaystyle\int 8x^5\ dx=8\int x^5\ dx$

Propiedad de la desigualdad de funciones

Si una función es menor o igual que otra, la integral de la primera función también es menor o igual que la integral de la segunda función. De manera que después de la integración las funciones conservan su relación.

$\displaystyle f(x)\leq g(x) \ \Rightarrow \ \int f(x) \ dx \leq \int g(x) \ dx$

Por ejemplo:

$f(x)=4x \qquad g(x)=4x+5$

$\displaystyle f(x)\leq g(x) \ \Rightarrow \ \int 4x \ dx \leq \int 4x+5 \ dx$

Propiedad del valor absoluto

Si al efectuar el valor absoluto a una función da como resultado una función integrable, el valor absoluto de la integral de la función es menor o igual que la integral del valor absoluto de dicha función.

$\displaystyle |f(x)| \text{ integrable} \ \Rightarrow \left|\int f(x)\ dx\right| \leq \int |f(x)| \ dx$