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Indeterminación infinito entre infinito (∞/∞)

En este post te explicamos cómo calcular la indeterminación infinito entre infinito (∞/∞). Encontrarás ejemplos de esta indeterminación con todo tipo de funciones: funciones polinómicas, radicales, exponenciales,… Además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de límites que dan indeterminaciones infinito entre infinito.

Cómo resolver la indeterminación infinito entre infinito

Cuando el límite de una función da infinito entre infinito, significa que es una indeterminación (o forma indeterminada). Para resolver el límite de una función que da la indeterminación infinito entre infinito se debe comparar el grado del polinomio del numerador con el grado del polinomio del denominador.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\frac{+\infty}{+\infty}

El resultado de la indeterminación infinito dividido entre infinito depende del grado del numerador y del grado denominador de la fracción:

  1. Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, la indeterminación infinto partido por infinito es igual a cero.
  2. Si el grado del polinomio del numerador es equivalente al grado del polinomio del denominador, la indeterminación infinito sobre infinito es el cociente de los coeficientes principales de los dos polinomios.
  3. Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador, la indeterminación infinito entre infinto da más o menos infinito (el signo depende de los términos principales de ambos polinomios).

\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex] \cfrac{a_n}{b_n} & \text{si} & r=s \\[5ex] \pm \infty & \text{si} & r>s \end{array}\right.

Ejemplos de indeterminaciones infinito entre infinito

Veamos cómo se resuelve la forma indeterminada infinito entre infinito viendo varios ejemplos de cada caso:

Grado del numerador menor que el grado del denominador

Como hemos visto arriba, cuando el grado del polinomio del numerador es más pequeño que el grado del polinomio del denominador el límite indeterminado infinito entre infinito siempre da 0.

Ejemplo 1:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

El polinomio del numerador es de segundo grado, mientras que el del denominador es de tercer grado, por lo tanto, la solución del límite es 0.

Ejemplo 2:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{-7x}{2x^4+3x^2}=\frac{-7\cdot (-\infty)}{2(-\infty)^4}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

La función polinómica del numerador es de primer grado, pero la función del denominador es de cuarto grado, de modo que el límite al infinito negativo vale 0.

Grado del numerador igual al grado del denominador

Cuando el grado del polinomio del numerador equivale al grado del polinomio del denominador, el límite indeterminado infinito entre infinito se calcula dividiendo los coeficientes principales (coeficiente del término de mayor grado) de los dos polinomios.

Ejemplo 3:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}

En este caso, los dos polinomios son de segundo grado, por lo que tenemos que dividir los coeficientes de los términos de mayor grado para hallar el límite al infinito positivo.

Ejemplo 4:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{2x+1}{5x+3} = \cfrac{2(-\infty)}{5(-\infty)}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\cfrac{\bm{2}}{\bm{5}}

Aunque el límite sea cuando x tiende a menos infinito, la indeterminación infinito entre infinito se resuelve de la misma manera.

Grado del numerador mayor que el grado del denominador

Cuando el grado del polinomio del numerador es más grande que el grado del polinomio del denominador, la forma indeterminada infinito entre infinito siempre dará infinito, y el signo del infinito viene determinado por los términos de mayor grado de ambos polinomios.

Ejemplo 5:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+7}{x-2} = \cfrac{(+\infty)^2}{+\infty} = \cfrac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}

La función del numerador tiene mayor grado que la del denominador, por lo que la indeterminación infinito sobre infinito da infinito. Además, en este caso tanto del numerador como del denominador obtenemos un infinito positivo, así que el resultado del límite también debe ser positivo.

Ejemplo 6:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}

En este problema, del numerador se obtiene un infinito positivo porque cualquier término elevado al cuadrado es positivo, en cambio, del denominador se consigue un infinito negativo. En consecuencia, el límite resultante del límite es negativo porque positivo entre negativo da negativo.

Indeterminación infinito entre infinito con raíces

Acabamos de ver cómo calcular la indeterminación infinito entre infinito cuando tenemos funciones polinómicas. Pero… ¿cuánto da infinito entre infinito si tenemos raíces?

El grado de una función irracional (función con raíces) es el cociente entre el grado del término principal y el índice del radical.

\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}

Por lo tanto, si el límite de una función con raíces da la indeterminación infinito entre infinito, tenemos que aplicar las mismas reglas explicadas arriba de los grados del numerador y del denominador, pero teniendo en cuenta que el grado de un polinomio con raíces se calcula diferente.

Fíjate en el siguiente ejemplo del límite al infinito de una función con radicales:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

El grado del numerador es 2, y el grado del denominador es 4 (8/2=4), por lo tanto, el límite da 0 porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

Por otro lado, si el grado del numerador y del denominador son iguales, para hacer el cálculo del límite indeterminado hay que coger el coeficiente principal junto con el radical:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{6x-5}{\sqrt{9x^2+2x}}=\frac{6(+\infty)}{\sqrt{9(+\infty)^2}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\frac{6}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=\bm{2}

Indeterminación infinito entre infinito con funciones exponenciales

Finalmente, solo nos queda estudiar un caso de la indeterminación cociente de infinitos: cuánto es la indeterminación infinito entre infinito con funciones exponenciales.

El crecimiento de una función exponencial es mucho más grande que el crecimiento de una función polinómica, así que debemos considerar que el grado de una función exponencial es mayor que el grado de una función polinómica.

\text{exponencial}>\text{polinomio}

Por lo tanto, si la indeterminación infinito partido por infinito resulta de un límite con funciones exponenciales, simplemente debemos aplicar las mismas reglas explicas de los grados del numerador y del denominador, pero teniendo en cuenta que una función exponencial es de mayor orden que un polinomio.

Además, si tenemos funciones exponenciales en el numerador y en el denominador de la división, la función exponencial cuya base sea más grande será la que tendrá mayor orden.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

En este caso, el denominador está formado por una función exponencial, por lo que es de mayor orden que el numerador. En consecuencia, la forma indeterminada infinito entre infinito se anula.

Ejercicios resueltos de la indeterminación infinito entre infinito

Ejercicio 1

Calcula el límite de la siguiente función racional:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x-5}{x^2-1}

Al hacer el cálculo del límite obtenemos la indeterminación infinito entre infinito, pero como el grado del numerador es menor que el grado del denominador el límite indeterminado es igual a cero.

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x-5}{x^2-1} = \cfrac{6(+\infty)}{(+\infty)^2} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

 

Ejercicio 2

Resuelve el siguiente límite indeterminado:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3+4x-1}{5x^2-3x+4}

Al intentar calcular el límite se obtiene la indeterminación ∞/∞. En este caso, el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador, por lo que el límite indeterminado es igual a más infinito.

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3+4x-1}{5x^2-3x+4} = \cfrac{(+\infty)^3}{5(+\infty)^2} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}

 

Ejercicio 3

Resuelve el siguiente límite al infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}

El límite da la indeterminación menos infinito entre más infinito. El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, por lo que el límite indeterminado es igual a más infinito. Sin embargo, como la división es infinito negativo entre infinito positivo, el resultado es menos infinito.

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}

 

Ejercicio 4

Soluciona el siguiente límite indeterminado:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}

En este problema, la forma indeterminada infinito sobre infinito se consigue del cociente de dos polinomios con el mismo grado, por lo tanto, el resultado del límite indeterminado es la división de sus coeficientes principales:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}

 

Ejercicio 5

Calcula el siguiente límite al menos infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}

El grado de la expresión algebraica del numerador es inferior al grado de la expresión del denominador, así que la indeterminación +∞/+∞ da 0:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

 

Ejercicio 6

Resuelve el siguiente límite indeterminado de una función con raíces:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}

La expresión del numerador está bajo un radical, por lo que su grado es 7/3. Por otra parte, el polinomio del denominador es cuadrático. Y como 7/3>2, el límite da más infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=+\infty

 

Ejercicio 7

Determina el límite al infinito de la siguiente función con fracciones:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}

En este ejercicio se obtiene la indeterminación menos infinito dividido por menos infinito con el grado del numerador mayor que el grado del denominador, por tanto:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}

 

Ejercicio 8

Halla el límite al menos infinito de la siguiente función:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}

El polinomio del denominador es cuadrático, mientras que el polinomio del numerador es lineal. Por lo tanto, la indeterminación infinito dividido por infinito da 0.

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}

 

Ejercicio 9

Resuelve el límite al menos infinito de la siguiente función:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}

El numerador es de mayor grado que el denominador, así que el resultado de la forma indeterminada ∞/∞ será infinito. Además, el signo del infinito será negativo porque positivo entre negativo resulta en negativo:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}

 

Ejercicio 10

Soluciona el siguiente límite con la indeterminación infinito entre infinito:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}

La función exponencial es de mayor orden que la función polinómica, por lo que el límite dará infinito. Sin embargo, al dividir positivo entre negativo, el signo del infinito será negativo:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}

 

Ejercicio 11

Calcula el siguiente límite:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^3-5x}{-x^3-5x^2}

En este problema, la indeterminación infinito sobre infinito se resuelve dividiendo los coeficientes principales de los dos polinomios, ya que son del mismo grado:

 \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^3-5x}{-x^3-5x^2} = \cfrac{(-\infty)^3}{-(-\infty)^3} = \cfrac{-\infty}{-(-\infty)}= \cfrac{-\infty}{+\infty}=\cfrac{1}{-1}=\bm{-1}

 

Ejercicio 12

Resuelve el límite de la siguiente función cuando x tiende al infinito:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{(x+3)^2}{x}

Aunque la incógnita del numerador no esté directamente elevada al cuadrado, al resolver la identidad notable podemos ver claramente que el grado del numerador es mayor al grado del denominador. Por tanto:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{(x+3)^2}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+9+6x}{x} = \cfrac{(+\infty)^2}{+\infty} = \cfrac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}

 

Ejercicio 13

Calcula el límite al infinito de la siguiente función con una raíz cúbica:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{8x^3+1}}{-4x}

El numerador está compuesto por una raíz cúbica, por lo que su grado es 3/3=1. Entonces, el grado del numerador es igual al del denominador, así que la indeterminación infinito entre infinito queda resuelta de la siguiente manera:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{8x^3+1}}{-4x}= \cfrac{\sqrt[3]{8(+\infty)^3}}{-4(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}  = \cfrac{\sqrt[3]{8}}{-4}=\cfrac{2}{-4}=\bm{-}\mathbf{\cfrac{1}{2}}

 

Ejercicio 14

Resuelve el límite al infinito de la siguiente función con dos radicales:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}

El grado del numerador es 7/3=2,33, y el grado del denominador es 5/2=2,5. Por lo tanto, como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite indeterminado infinito entre infinito es 0:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

 

Ejercicio 15

Calcula el siguiente límite:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}

Independientemente del grado del numerador, como en el denominador tenemos una función exponencial, el resultado de la forma indeterminada infinito sobre infinito es 0:

 \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

 

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