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Operaciones con funciones: suma, resta, producto, división y composición

En este post te explicamos qué operaciones se pueden hacer con las funciones. Podrás ver la explicación junto con ejercicios resueltos de operaciones con funciones. Y, por último, encontrarás las propiedades de las operaciones con funciones.

¿Cuáles son las operaciones con funciones?

Se pueden hacer 5 tipos de operaciones diferentes con funciones: suma, resta, producto, división y composición. Es decir, dos funciones pueden ser sumadas, restadas, multiplicadas, divididas o compuestas.

A continuación, vamos a ver cómo se hace cada tipo de operación con funciones y las características que tiene cada una de ellas.

Suma de funciones

El valor de la suma (o adición) de dos funciones es igual a la suma del valor de cada función. Es decir, para calcular la imagen de una función suma basta con sumar las imágenes de las funciones que intervienen en la operación.

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Además, el dominio de la suma de dos funciones es la intersección del dominio de cada función sumada.

\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)

Veamos cómo se suman dos funciones mediante un ejemplo:

f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=\log(x-1)

Primero sumamos las dos funciones:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+1+\log(x-1)

Y ahora hallamos el dominio de la función suma. Para ello, calculamos el dominio de cada función por separado:

\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=(1,+\infty)

Ver: cómo calcular el dominio de una función

Entonces, el dominio de la función resultante de la operación será:

\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(1,+\infty)

Toda operación con funciones debe acompañarse de su dominio para definir completamente el resultado.

Resta de funciones

La imagen de la resta (o diferencia) de dos funciones es la resta de las imágenes de cada función que participa en la operación:

(f-g)(x)=f(x)-g(x)

Igual que con la función suma, el dominio de la resta de dos funciones es equivalente a la intersección del dominio de cada función.

\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)

De manera que si una función no está definida en algún valor de la variable independiente x, tampoco lo estará la función resultante de la resta.

Veamos cómo se restan dos funciones a través de un ejemplo:

f(x)=\sqrt{x^2}\qquad g(x)=\cfrac{3}{x-4}

Primero restamos las dos funciones:

(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x^2}-\cfrac{3}{x-4}

Y luego determinamos el dominio de la función resta:

\text{Dom}(f)=[0,+\infty)\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{4\}

\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=[0,4)\cup (4,+\infty)

Producto de funciones

Para calcular el producto o (multiplicación) de dos funciones, simplemente debemos multiplicar las expresiones de cada función.

(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

Por otro lado, el dominio de la función producto es el conjunto intersección del dominio de cada función multiplicada.

\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)

Por ejemplo, si tenemos las siguientes dos funciones:

f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\qquad g(x)=\cfrac{2}{3x+6}

En primer lugar, hacemos la operación producto con las dos funciones:

(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\cfrac{2}{3x+6}=\cfrac{2\sqrt[3]{x^2-1}}{3x+6}

Y, finalmente, hallamos el dominio de la función resultante de la operación:

\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{-2\}

\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)

División de funciones

El resultado numérico de una división (o cociente) de dos funciones corresponde a la siguiente ecuación:

\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

Sin embargo, el dominio de la división de dos funciones es el conjunto intersección del dominio de cada función menos todas las x que anulan la función que actúa como divisor, ya que si no obtendríamos una indeterminación.

\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}

A modo de ejemplo, vamos a dividir las siguientes funciones:

f(x)=5^x \qquad g(x)=x-3

La división de las funciones es:

\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{5^x}{x-3}

Por otra parte, el dominio de cada función por separado son todos los números reales

\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}

Sin embargo, como en el denominador de una fracción no puede haber un cero, en el dominio de la función resultante tenemos que quitar todos aquellos valores que anulen el denominador (x=3).

\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}=\mathbb{R}-\{3\}

Composición de funciones

La composición de funciones es la operación más difícil de resolver, porque es el concepto más complicado.

La composición de funciones consiste en la aplicación sucesiva de dos funciones. Algebraicamente, la composición de dos funciones se expresa de la siguiente manera:

(g\circ f)(x)=g\Bigl(f(x)\Bigr)

Por otro lado, el dominio de la composición de funciones (g\circ f)(x) equivale al conjunto de todos los valores de x en el dominio de la función f tal que f(x) pertenece al dominio de la función g.

\text{Dom}(g\circ f)=\{x\in\text{Dom}(f)\ | \ f(x)\in \text{Dom}(g)\}

Por ejemplo, dadas las siguientes dos funciones:

f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=3x-4

Para hallar la función compuesta f seguida de g tenemos que sustituir la expresión de f(x) donde haya una x en la expresión de g(x):

\begin{aligned}(g\circ f)(x)&=g\Bigl(f(x)\Bigr)\\[2ex]&= g\Bigl(x^2+1\Bigr)\\[2ex]&=3(x^2+1)-4\\[2ex]&=3x^2+3-4\\[2ex]&=3x^2-1\end{aligned}

En este caso, el dominio de las dos funciones son todos los números reales, por lo que el dominio de la función compuesta también serán todos los números reales.

\text{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}

Como puedes comprobar, la composición de funciones una operación nada fácil de entender. Por eso te recomendamos que practiques de hacer los siguientes ejercicios resueltos de la composición de funciones:

Ver: ejercicios resueltos de la composición de funciones

Propiedades de las operaciones con funciones

De todas las operaciones con funciones, la suma y el producto se caracterizan por tener las siguientes propiedades:

  • Propiedad asociativa: el orden en el que se suman o se multiplican 3 o más funciones es indiferente.

f(x)+\bigl[g(x)+h(x)\bigr]=\bigl[f(x)+g(x)\bigr]+h(x)

f(x)\cdot \bigl[g(x)\cdot h(x)\bigr]=\bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] \cdot h(x)

  • Propiedad conmutativa: el orden de la suma o multiplicación de dos funciones no altera el resultado.

f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x)

  • Elemento neutro: la operación suma y la operación producto tienen como elemento neutro las funciones constantes f(x)=0 y f(x)=1 respectivamente.
  • Elemento simétrico: la función suma tiene como función opuesta -f(x).
  • Propiedad distributiva: esta propiedad relaciona las operaciones suma y producto, y se basa en la siguiente igualdad:

f(x)\cdot \bigl[g(x)+h(x)\bigr]=f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot h(x)

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