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Indeterminación infinito menos infinito (∞-∞)

En este post te explicamos cómo resolver la indeterminación infinito menos infinito (∞-∞). Encontrarás ejemplos de esta indeterminación con diferentes tipos de funciones y, además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de la indeterminación infinito menos infinito.

Resolver la indeterminación infinito menos infinito

Cuando el límite de una función da infinito menos infinito, significa que es una indeterminación (o forma indeterminada). Es decir, el límite de una función que da la indeterminación infinito menos infinito no se puede determinar haciendo el cálculo directo, sino que se debe hacer un procedimiento previo.

Por lo tanto, para resolver la indeterminación infinito menos infinito primero se debe aplicar un procedimiento que depende del tipo de función: si es una función polinómica se puede calcular por comparación, si es una función racional se deben reducir las fracciones a común denominador, y si es una función irracional se debe multiplicar por el conjugado.

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Bigl(f(x)-g(x)\Bigr)=\infty-\infty

A continuación, vamos a ver con ejemplos cómo se resuelve la indeterminación infinito menos infinito en cada tipo de función.

Indeterminación infinito menos infinito en funciones polinómicas

En un polinomio, la indeterminación infinito menos infinito es igual al infinito de mayor orden, es decir, el término de mayor orden determina el signo positivo o negativo del infinito.

Por ejemplo, fíjate en el límite la siguiente función polinómica que da la forma indeterminada infinito menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^2-3x\bigr)=(+\infty)^2-3\cdot (\infty)=+\infty-\infty=+\infty

En este caso, el término x2 es de segundo grado y el término 3x es de primer grado, por lo tanto, el monomio x2 tiene dominancia al ser de mayor orden. En consecuencia, el resultado del límite es el infinito que se obtiene de este término.

Fíjate en estos otros ejemplos:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^5-4x^2-3x\bigr)=(+\infty)^5=+\infty\\[5ex]\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\bigl(-3x^2-5x\bigr)=-3\cdot (-\infty)^2=-3\cdot \infty=-\infty\\[5ex]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^7-5x^4+x^3-2x-10\bigr)=(+\infty)^7=+\infty\end{array}

En definitiva, cuando hacemos límites al infinito en funciones polinómicas simplemente tenemos que sustituir el infinito en el término de mayor grado, ignorando todos los otros términos.

Indeterminación infinito menos infinito con fracciones

Cuando la indeterminación infinito menos infinito se produce en una suma o resta de fracciones algebraicas, primero tenemos que hacer la suma o la resta de las fracciones y luego calcular el límite.

Veamos cómo calcular la indeterminación infinito menos infinito en una función con fracciones resolviendo un ejemplo paso a paso:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)

Primero intentamos calcular el límite:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left(  \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}

Pero obtenemos la indeterminación ∞-∞.

De modo que primero debemos hacer la resta de las fracciones. Para ello, reducimos las fracciones a común denominador, esto es, multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por el denominador de la otra:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}

Y ahora que las dos fracciones tienen el mismo denominador, las podemos juntar en una sola fracción:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}

Operamos en el numerador y en el denominador:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}  \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} =  \lim_{x \to +\infty}  \frac{2x^2+x}{3x-3}

Y finalmente volvemos a calcular el límite:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}

En este caso la indeterminación infinito entre infinito da +∞ porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Ver: ¿cuánto es infinito entre infinito?

Indeterminación infinito menos infinito con raíces

Cuando la indeterminación infinito menos infinito se produce en una suma o resta de radicales, primero tenemos que multiplicar y dividir la función por la expresión radical conjugada y luego resolver el límite.

Vamos a ver cómo solucionar la indeterminación infinito menos infinito en una función irracional haciendo un ejemplo paso a paso:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)

Primero intentamos resolver el límite de la función con radicales:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}

Sin embargo, obtenemos la forma indeterminada ∞-∞. Así que para saber cuánto es la indeterminación infinito menos infinito debemos aplicar el procedimiento explicado.

Como la función tiene radicales, multiplicamos y dividimos toda la función por la expresión irracional conjugada:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}

La expresión algebraica del numerador corresponde a la identidad notable del producto de una suma por una diferencia, por lo tanto, podemos simplificar la expresión:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}

Ahora simplificamos la raíz del límite, ya que está elevada al cuadrado:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}

Operamos en el numerador de la fracción:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}

Y, por último, volvemos a hacer el cálculo del límite:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}

De manera que el resultado del límite es 0, porque cualquier número dividido entre infinito es igual a cero.

Ejercicios resueltos de la indeterminación infinito menos infinito

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente límite de cuando x tiende a más infinito:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(7x^2-2x^3)

En este límite, el término de mayor orden es de tercer grado, por lo que nos centramos en el infinito obtenido a partir de ese término.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(+7x^2-2x^3)=+\infty^2-\infty^3=+\infty-\infty=\bm{-\infty}

 

Ejercicio 2

Calcula el límite de la siguiente función polinómica cuando x tiende a infinito negativo:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3-9x^2)

El menos infinito elevado al cubo permanece negativo, pero cuando está elevado al cuadrado se transforma en positivo. Aunque después sus signos se ven alterados por los coeficientes que tienen delante:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3+x^2)=\\[3ex]=-5(-\infty)^3-9(-\infty)^2=\\[3ex]=-5\cdot (-\infty)-9\cdot \infty=\\[3ex]=+\infty-\infty\end{array}

Entonces, la forma indeterminada infinito menos infinito queda definida por el término de mayor orden (-5x3), del que se obtiene un infinito positivo:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3+x^2)=\bm{+\infty}

 

Ejercicio 3

Determina el límite al infinito de la siguiente función racional:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)

En primer lugar, tratamos de hacer el cálculo del límite sustituyendo el infinito en la función:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}

Pero nos encontramos con la indeterminación ∞ – ∞. Por tanto, reducimos las fracciones a común denominador:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}

Y como ahora las dos fracciones tienen el mismo denominador, las podemos juntar en una sola fracción:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}

Efectuamos el paréntesis del numerador:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}

Y, finalmente, determinamos el límite:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}

En este caso la indeterminación ∞/∞ da +∞ porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

 

Ejercicio 4

Soluciona el límite de la siguiente función fraccionaria cuando x tiende a 0:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)

Primero intentamos calcular el límite como siempre:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}

Pero obtenemos la forma indeterminada ∞-∞. Por tanto, debemos reducir las fracciones de la función a común denominador.

En este caso, x4 es un múltiple de x2, así que solo multiplicando el numerador y el denominador de la segunda fracción por x2 ya conseguiremos que las dos fracciones tengan el mismo denominador:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}

Ahora ya podemos restar las dos fracciones:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}

Intentamos resolver el límite de nuevo:

\displaystyle \lim_{x \to 0}  \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}

Pero nos encontramos con la indeterminación de una constante partida por cero. Así que tenemos que calcular los límites laterales de la función.

\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

En conclusión, como los dos límites laterales de la función en el punto x=0 dan como resultado -∞, la solución del límite es -∞:

\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \  \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}

 

Ejercicio 5

Resuelve el límite al infinito de la siguiente función con raíces:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)

Al intentar resolver el límite obtenemos la indeterminación infinito menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}

Por tanto, como hay radicales en la función, debemos multiplicarla y dividirla por la expresión radical conjugada:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

En el numerador tenemos el producto notable de una suma por una diferencia, que es igual a la diferencia de cuadrados. Por tanto:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Simplificamos el radical elevado al cuadrado:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Operamos en el numerador:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Y, para acabar, hallamos el límite:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}

En este caso la indeterminación infinito partido por infinito es más infinito porque el grado del numerador es más grande que el grado del denominador (recuerda que la raíz cuadrada reduce el grado entre dos:  \sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2 ).

 

Ejercicio 6

Resuelve el límite cuando x tiende al infinito de la siguiente función irracional:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)

Primero de todo, tratamos de calcular el límite como siempre:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}

Pero nos da como resultado la indeterminación de la diferencia de infinitos. Por tanto, como la función tiene raíces, debemos multiplicar y dividir la expresión por el conjugado radical:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}

Agrupamos la igualdad notable del numerador de la fracción:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Resolvemos la raíz cuadrada:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Resolvemos la identidad notable del cuadrado de una diferencia:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Operamos en el numerador:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Y, por último, calculamos el valor del límite al infinito:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =

Aunque haya una x al cuadrado en el denominador, su grado en verdad es 1 porque está dentro de una raíz:  \sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .

Por tanto, el resultado de la indeterminación -∞/+∞ es la división de los coeficientes de las x de mayor grado, ya que el grado del numerador es igual que el grado del denominador.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}

Fíjate que como hay dos términos de primer grado en el denominador \bigl(2x y \sqrt{4x^2}\bigr) , para resolver la indeterminación -∞/+∞ tenemos que coger todos los coeficientes de los términos de primer grado, es decir, el 2 de 2x y el \sqrt{4} de \sqrt{4x^2}.

 

Ejercicio 7

Calcula el límite cuando x tiende a 1 de la siguiente función con fracciones:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)

Al intentar hacer el límite obtenemos el límite indeterminado de infinito menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}

De manera que debemos reducir las fracciones a común denominador, o dicho con otras palabras, tenemos que multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el denominador de la otra:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}

Y como ahora las dos fracciones tienen el mismo denominador, las podemos juntar:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3-(3-3x)}{1-x-x^3+x^4}

Operamos:

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^3-3+3x}{1-x-x^3+x^4}

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}

Y volvemos a intentar resolver el límite:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\frac{-1^3+3\cdot1-2}{1^4-1^3-1+1}=\mathbf{\frac{0}{0}}

Pero nos encontramos con la indeterminación cero partido por cero. Así que tenemos que factorizar los polinomios del numerador y del denominador:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+x+1)}

Ahora simplificamos la fracción quitando el factor que se repite en el numerador y en el denominador:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-\cancel{(x-1)^2}(x+2)}{\cancel{(x-1)^2}(x^2+x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}

Y, finalmente, resolvemos el límite:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}=\frac{-(1+2)}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=\bm{-1}

 

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